Begriffe mit Indexnotation multiplizieren

Question

Ich versuche, die Flat-Space-Aktion zu erweitern

$$ S_{BI} = -T_p \int{d^{p+1}} \sigma \ \mathrm{Tr}\left( e^{-\phi} \sqrt{ -\det(\eta_{ab} + 4\pi^2\alpha^2 \partial_a\Phi^i\partial_b\Phi^i + 2\pi \alpha F_{ab}) \det(Q^{i}_{j}) } \right).\tag{1} $$

Nach einigen Manipulationen möchte ich die Potenzreihenerweiterung des natürlichen Protokolls verwenden, um den Begriff zu erweitern

$$ \text{ln}[\delta^{c}_{b} + \lambda^2\eta^{cd} \partial_d\Phi^i\partial_b\Phi^i ]\tag{2} $$ zur vierten Potenz in $\eta^{cd} \partial_d\Phi^i\partial_b\Phi^i.$

Mein Problem ist, ich verstehe nicht, wie man Kräfte von berechnet $\eta^{cd} \partial_d\Phi^i\partial_b\Phi^i $dh $(\eta^{cd} \partial_d\Phi^i\partial_b\Phi^i)^2$. Wie behandle ich die Indizes?

Answer 1

Wenn Sie die Aktion Born-Infeld erweitern möchten$^1$ mit $$\det(\mathbb{1}+M)~=~\exp({\rm tr}\ln(\mathbb{1}+M)),\tag{A} $$ dann brauchen Sie den Logarithmus einer ganzen Matrix $$L~:=~\ln(\mathbb{1}+M)~=~-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} (-M)^n,\tag{B} $$im Gegensatz zum Logarithmus eines einzelnen Matrixelements (2). Dann$$ L^a{}_b~=~M^a{}_b -\frac{1}{2}M^a{}_cM^c{}_b +{\cal O}(M^3),\tag{C}$$und so weiter. Hier$a,b,c$ sind Weltvolumenindizes.

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$^1$Zusätzliche Komplikationen ergeben sich aus der (symmetrisierten) Farbspur ${\rm Tr}$in einer nicht-abelschen Dirac-Born-Infeld-Aktion (1). Wir werden hier der Einfachheit halber eine abelsche Eichgruppe annehmen$U(1)$.