Beispiel einer Sequenz, die nicht einheitlich integrierbar ist.

Question

Per Definition eine Sequenz $\{X_n\}_{n \ge 0}$ ist einheitlich integrierbar, wenn $\sup_n E[X_n \cdot \mathbb{I}_{\{X_n > a\}}] \to 0$ und $a \to \infty$.

Eine äquivalente Definition ist, dass 1) $\sup_n E[|X_n|] < \infty$ und 2) $\forall \epsilon > 0, \exists \, \delta > 0$ so dass für alle $n$, $E[X_n \cdot \mathbb{I}_A] < \epsilon$ für jeden Fall $A$ so dass $P(A) < \delta$.

Ich bin nur neugierig - kann jemand ein Beispiel für eine Sequenz geben, in der $\sup_n E[|X_n|] < \infty$ aber $\{X_n\}$ist nicht einheitlich integrierbar? Jede Sequenz, die ich zu erstellen versucht habe, scheint einheitlich integrierbar zu sein.

Vielen Dank.

Answer 1

Angenommen, Ihr Wahrscheinlichkeitsraum ist $([0,1],dx)$mit $dx$ bezeichnet das Lesbegue-Maß.

Lassen $X_n=n 1_{[0,1/n]}$. Dann$\mathbb{E}|X_n|=1$ für jeden $n$ aber $(X_n)_ {n\in \mathbb{N}}$ ist nicht einheitlich integrierbar als $$ \mathbb{E}|X_n| \mathbb{I}_{|X_n|>a}=\mathbb{E}|X_n| $$ für alle $n>a$.