Beispiel Schauder Basis zu $\ell^2$

Question

Lassen $\alpha, \beta \in \mathbb C - \{0\}$ so dass $0 < |\frac{\beta}{\alpha}| < 1$ und $$ x_1 = (\alpha, \beta, 0,...), x_2 = (0, \alpha, \beta, 0,...), x_3 = (0, 0, \alpha, \beta, 0,...),... $$ Zeige, dass $(x_n)_{n \ge 1}$ ist eine Schauder Basis von $\ell^2$.

Ich weiß das jeder $x_i$ könnte wie folgt geschrieben werden $$ x_i = \sum^{\infty}_{k=1} \alpha e_i + \beta e_{i+1} $$ wo $e_i$ repräsentiert den kanonischen Vektor mit Eingabe 1 in der $i$ th Koordinate und 0 im Rest, aber ich weiß nicht, wie ich die Bedingung von verwenden soll $0 < |\frac{\beta}{\alpha}| < 1$.

Answer 1

Hinweis:

Lassen $\mathbf{e}_j=\delta_j$ (($1$ in dem $j$-te Komponente, sonst Null). Da für jeden$\mathbf{x}\in\ell_2$, $\mathbf{x}=\sum^\infty_{j=1}\langle \mathbf{x},\mathbf{e}_j\rangle \mathbf{e}_i$ist es genug zu zeigen, dass jeder $\mathbf{e}_j$ ist von der Form $\sum_k a_{jk}\mathbf{x}_k$.

\begin{aligned} \mathbf{e}_1&=\frac{1}{\alpha}\mathbf{x}_1-\frac{\beta}{\alpha}\mathbf{e}_2\\ \mathbf{e}_2&=\frac{1}{\alpha}\mathbf{x}_2-\frac{\beta}{\alpha}\mathbf{e}_3\\ &\ldots\\ \mathbf{e}_j&=\frac{1}{\alpha}\mathbf{x}_j-\frac{\beta} {\alpha}\mathbf{e}_{j+1}\\ \ldots \end{aligned}

Durch Induktion

$$ \mathbf{e}_1 = \frac{1}{\alpha}\sum^N_{j=1}\big(-\frac{\beta}{\alpha}\big)^{j-1}\mathbf{x}_j +\big(-\frac{\beta}{\alpha}\big)^N\mathbf{e}_{N+1} $$

Daraus und aus der Annahme $0<|\beta/\alpha|<1$das kann man sehen $\mathbf{e}_1$hat den gewünschten Ausdruck. Ähnliches Verfahren für andere$\mathbf{e}_j$'s.