Beispiele für T-Leiter?

Question

Ich habe Probleme, das Konzept eines T-Leiters in der linearen Algebra zu verstehen. Ich kenne die Definition, aber einige Beispiele wären hilfreich.

Definition. Lassen$W$ sei ein invarianter Unterraum für $T$ und lass $\alpha$ sei ein Vektor in $V$. Das$T$Dirigent von $\alpha$ in $W$ ist das Set $S_T(\alpha;W)$, die aus allen Polynomen besteht $g$ (über dem Skalarfeld) so, dass $g(T)\alpha$ ist in $W$. (S.201, Abschnitt 6.4)

Ich brauche einige Beispiele für T-Leiter

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Hier ist ein Beispiel. Lassen$T:\Bbb C^4 \to \Bbb C^4$ sei die Transformation, die mit der Jordan-Form-Matrix verbunden ist $$ \pmatrix{\mu&1&0&0\\0&\mu&0&0\\ 0&0&\lambda&1\\0&0&0&\lambda}. $$ Lassen $W$ bezeichnen den vom Vektor überspannten Unterraum $e_1 = (1,0,0,0)$. Lassen$e_1,\dots,e_4$ bezeichnen die Standardbasis von $\Bbb C^n$. Wir beschreiben jetzt$S_T(\alpha;W)$ für mehrere verschiedene Vektoren $\alpha$::

• Zum $\alpha = e_2$, $S_T(\alpha;W)$ ist die Menge der Polynome, die durch teilbar ist $p(t) = (t-\mu)$
• Zum $\alpha = e_3$, $S_T(\alpha;W)$ ist die Menge der Polynome, die durch teilbar ist $p(t) = (t-\lambda)(t-\mu)$
• Für jeden $\alpha$ außerhalb der Spanne von $\{e_1,e_2,e_3\}$, $S_T(\alpha;W)$ ist die Menge der Polynome, die durch teilbar ist $(t-\mu)(t-\lambda)^2$.
• Für jeden $\alpha \in W$, $S_T(\alpha;W)$ist die Menge aller Polynome
• Für jeden $v \in \Bbb C^4$ und $\alpha = e_1 + v$, $S_T(\alpha;W) = S_T(v;W)$