Berechnung der Gattung einer Kurve über $\mathbb Q$
Ich versuche, die Gattung einer Kurve über ein nicht algebraisch geschlossenes Feld über Riemann-Hurwitz zu berechnen.
Lassen $K = \mathbb Q(t)$ mit $t$ transzendentale und lassen $F$ sei die Erweiterung von $K$ erhalten durch Anschließen einer Wurzel von $$f(x) = x^2 - (t^2 - 10t - 5)$$
Schon seit $K$ist mit dem projektiven Raum verbunden, es hat die Gattung Null. Lassen$g$ sei die Gattung einer glatten Kurve mit isomorphem Funktionsfeld zu $F$. Dann sagt das Riemann-Hurwitz$$2g -2 = 2*(-2) + \sum_{P} e_P - 1$$ $$g = -1 + \frac 12 \sum_{P} e_P - 1$$
Aus der Diskriminante geht hervor, dass die Kurve an zwei Punkten verzweigt ist. $\infty$ und $(t^2 - 10t - 5)$ mit Verzweigungsindex $2$bei jedem. Das gibt$g=0$.
Wenn ich Basiswechsel zu $\mathbb Q(\alpha)$ wo $\alpha$ ist eine Wurzel von $t^2 - 10t - 5$Es scheint, dass die Karte nun an drei Punkten verzweigt ist: $\infty$, $t-\alpha$, und $t-\alpha'$, das Konjugat von $\alpha$, alle mit Index $2$. Aber das würde die Gattung machen$1/2$ Das ist absurd, zusätzlich zu der Tatsache, dass ich dachte, die Gattung sei eine geometrische Invariante.
Warum scheinen die beiden unterschiedlich zu funktionieren, und was läuft bei der letzten Berechnung falsch?
Antworten
Hier ist die Aussage des Riemann-Hurwitz-Theorems, auf die ich in den Kommentaren hingewiesen habe. (Rosen, Zahlentheorie in Funktionsfeldern , Satz 7.16, S. 90).
Satz. Lassen$L/K$eine endliche, trennbare, geometrische Erweiterung von Funktionsfeldern sein. Dann$$ \DeclareMathOperator{\D}{\mathfrak{D}} \DeclareMathOperator{\P}{\mathfrak{P}} 2g_L - 2 = [L:K] (2g_K - 2) + \deg_L(\D_{L/K}) $$ wo $\mathfrak{D}_{L/K}$ ist das andere Ideal.
Wenn alle verzweigten Primzahlen von $L$ sind zahm verzweigt (was hier der Fall ist, da das Bodenfeld charakteristisch ist $0$), dann $\D_{L/K} = \sum_{\P} (e(\P/P) - 1) \P$, so wird die Formel $$ 2g_L - 2 = [L:K] (2g_K - 2) + \sum_{\P} (e(\P/P) - 1) \deg_L(\P) \, . $$
Wenn Sie sich Ihrem Beispiel zuwenden, ist dies Ihr Fehler $F$ ist oben nicht verzweigt $\infty$. Eine geometrische Möglichkeit, dies zu sehen, ist die folgende. Homogenisierung der Kurvendefinition$F$erhalten wir die Kurve $C: X^2 - (Y^2 - 10YZ - 5Z^2) = 0$, wo $x = X/Z$ und $t = Y/Z$und wir betrachten die Karte $\pi: C \to \mathbb{P}^1$, $[X:Y:Z] \mapsto [Y:Z]$. Berechnen$\pi^{-1}([1:0])$, wir stecken ein $Z = 0$ in die Gleichung für $C$erhalten $$ 0 = X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y) $$ damit $\pi^{-1}([1:0]) = \{[1:1:0], [1:-1:0]\}$. Schon seit$\sum_i e_i f_i = 2$ also durch die fundamentale Identität $f_i = e_i = 1$, damit $\pi$ ist oben nicht verzweigt $\infty$.
Für einen theoretischen Ansatz mit mehr Funktionsfeldern sei $s = 1/t$ und $r = x/t = xs$. Dann maximale Reihenfolge von$F$ im Unendlichen ist $R := \frac{\mathbb{Q}[r,s]}{(r^2 - (1 - 10s - 5s^2))}$. Um die Aufteilung oben zu bestimmen$\infty$untersuchen wir wie $sR$Faktoren. Verwendung der definierenden Gleichung$R$, wir finden $sR = (r-1,s)(r+1,s)$und diese Primzahlen sind so verschieden $F$ ist oben nicht verzweigt $(s)$.
Lassen $\P = (x)$ und $P = (t^2 - 10t - 5)$. Das Rückstandsfeld von$\P = (x)$ist \ begin {align *} \ frac {\ mathbb {Q} [t, x] / (x ^ 2 - (t ^ 2 - 10t - 5))} {(x)} \ cong \ frac {\ mathbb { Q} [t]} {(t ^ 2 - 10t - 5)} \ end {align *} mit der Dimension$2$ Als ein $\mathbb{Q}$-Vektorraum, also $\deg_L(\P) = 2$.
Bei Anwendung von Riemann-Hurwitz haben wir \ begin {align *} 2g_L - 2 = 2 (2 \ cdot 0 - 2) + (e (\ P / P) - 1) \ deg_L (\ P) = -4 + (2 -1) \ cdot 2 = -2 \ end {align *} so$g_L = 0$, wie wir gehofft hatten.