Berechnung des Integrals von Exponential von Exponential

Question

Ich habe versucht, den folgenden Ausdruck zu integrieren:$$\int_{0}^{\infty} (1- \exp(-a e^{-bx})) dx$$Ich begann, dieses Integral zu lösen, indem ich zuerst die Substitutionsmethode verwendete. Mit$t = e^{-bx}$, dann ist das Integral:$$\frac{1}{b} \int_{0}^{1} \frac{1}{t}(1-e^{-at})dt$$Das einzige, was mir in den Sinn kommt, ist die Lösung durch partielle Integration, aber es verkompliziert die Integration viel zu sehr. Lassen Sie zum Beispiel$u = \frac{1}{t}$und$dv = 1 - e^{-at}$. Gibt es einen einfacheren Weg, dieses Integral zu lösen?

Answer 1

Wir beginnen mit dem Integral$I$gegeben von

$$I=\int_0^1 \frac{1-e^{-at}}{t}\,dt\tag1$$

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Erzwingen der Substitution$t\mapsto t/a$in$(1)$offenbart

$$I=\int_0^a \frac{1-e^{-t}}{t}\,dt \tag2$$

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Teileweises Integrieren des Integrals in$(2)$mit$u=1-e^{-t}$und$v=\log(t)$, wir glauben, dass

$$\begin{align} I&=(1-e^{-a})\log(a)-\int_0^a \log(t)e^{-t}\,dt\\\\ &=(1-e^{-a})\log(a)+\gamma+\int_a^\infty \log(t)e^{-t}\,dt\tag3 \end{align}$$

wo$\gamma =-\int_0^\infty \log(t) e^{-t}\,dt$ist die Euler-Mascheroni-Konstante.

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Eine nachträgliche Integration von Teilen in$(3)$mit$u=\log(t)$und$v=-e^{-t}$Erträge

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{I=\log(a)+\gamma+\Gamma(0,a)}\tag 4$$

wo$\Gamma(0,a)=\int_a^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt$ist die obere unvollständige Gammafunktion.

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Beachten Sie, dass wir alternativ hätten ausdrücken können$(4)$als

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{I=\log(a)+\gamma-\text{Ei}(-a)}$$

in Bezug auf das Exponentialintegral$\text{Ei}(-a)=-\int_a^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt$.

Answer 2

Das Integral von$\dfrac {e^{a x} } x$geht nicht ohne weiteres.

So wird es auf ProofWiki gemacht:

https://proofwiki.org/wiki/Primitive_of_Exponential_of_a_x_over_x

$$\int \frac {e^{a x} \, \mathrm d x} x = \ln |x| + \sum_{k \mathop \ge 1} \frac {(a x)^k} {k \times k!} + C$$

Auf diese Weise können Sie tatsächlich die Antwort auf Ihr ersetztes Integral erhalten, und es sollte einfach sein, die Antwort von dort aus zu erhalten. Nur dass es nicht sehr schön ist.