Besserer Beweis einer numerischen Ungleichung von$e^x$

Question

Die Ungleichheit ist

$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$

Ich habe es bewiesen, indem ich es in 3 Fälle aufgeteilt habe:$-3<z<0$,$z=0$und$0<z<3$.

Zum$z=0$, beide Seiten gleich.

Die anderen 2 Fälle werden mit Kalkül erledigt. Definieren$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$und dann ersetzen$|x|$durch$x$oder$-x$entsprechend. Dann überprüfen Sie einfach die Ableitungen.

Aber meiner Meinung nach ist es eine Art rohe Gewalt, also frage ich mich, ob es einen schnelleren (intelligenteren) Weg gibt, es zu zeigen.

Answer 1

Beachten Sie, dass, wenn$|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}