Beweis der Monotonie einer impliziten Funktion

Aug 18 2020

Ich habe die Eigenschaft der Beta-Funktion untersucht und bin auf folgende Gleichheit gestoßen:

$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha-1}\frac{1}{1+e^{(2\lambda-1)k}}\text{d}\lambda = \text{B}(\alpha+1,\alpha+1), $$

wo $\text{B}$ steht für die Beta-Funktion.

Das kann ich jedem zeigen $\alpha>0$gibt es eine einzigartige $k \in (0,\infty)$Die oben genannte Gleichheit gilt. Was mich interessiert, ist das, wenn ich den Graphen von zeichne$k$ bezüglich $\alpha$ in Wolfram stellt sich heraus, dass $k$ ist eigentlich eine streng abnehmende Funktion wrt $\alpha$.

Ich konnte die obige Behauptung nicht beweisen, aber ich habe einige Intuitionen. Die Teilintegration ergibt, dass die obige Gleichheit gleichbedeutend ist mit:

$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}[\frac{2k}{2+e^{(2\lambda-1)k}+e^{(1-2\lambda)k}}-1]\text{d}\lambda = 0. $$

Also wann $\alpha$ ist groß, der Begriff $\lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}$ wird dominiert bei $\lambda=1/2$. Deshalb,$2k/4$ muss in der Nähe bleiben $1$auch. Wann$\alpha$ ist klein, $k$ muss deutlich größer sein als $2$ den Teil zu kompensieren, wo $\lambda$ bleiben Sie weg von $1/2$.

Alle Hinweise / Vorschläge werden meistens geschätzt.

Antworten

1 Avocaddo Sep 03 2020 at 08:04

Lassen $R\left(a,k\right)=\int_{0}^{1}\lambda^{a}\left(1-\lambda\right)^{a-1}\frac{1}{1+e^{\left(2\lambda-1\right)k}}-\text{Beta}\left(a+1,a+1\right)$. Durch den impliziten Funktionssatz angewendet auf$R\left(a,k\right)=0$ wir haben

$\frac{dk}{da}=-\frac{\frac{\partial R}{\partial a}}{\frac{\partial R}{\partial k}}<0$

weil $\frac{\partial R}{\partial a}<0$ und $\frac{\partial R}{\partial k}<0$. Lassen Sie mich wissen, ob dies klar ist.