Beweis der polaren Zersetzung

Question

Annehmen $M$ ist eine von Neumann Algebra und $\phi\in M_{*}$dann gibt es eine eindeutige partielle Isometrie $v\in M$ und eine positive lineare Funktion $\psi\in M_{*}$ so dass $\phi=v \psi$ und $v^*v=s(\phi)$, wo $s(\phi)$ ist eine Unterstützungsprojektion von $\phi$.

Zum Beweis stieß ich auf Probleme. Ich habe ein Nachschlagewerk gefunden, in dem steht, dass "wenn$\phi\in M_{*}$gibt es $a\in M$ mit $\|a\|\leq 1$ so dass $\phi(a)=\|\phi\|$". Wie man die obige Aussage beweist.

Ich habe noch eine Frage zu Unterstützungsprojektionen eines Staates. Wenn$\phi_1$ und $\phi_2$ sind zwei Zustände einer von Neumann-Algebra, so dass $s(\phi_1)s(\phi_2)=0$Gibt es Beziehungen zwischen zwei Zuständen?

Answer 1

Dies ist eine direkte Folge des folgenden Standardergebnisses:

Ergebnis: Wenn$X$ ist normierter Raum und $x\in X$, dann $$\|x\|=\max\{|\varphi(x)|:\ \varphi\in X^*,\ \|\varphi\|=1\}.$$

Wenden Sie dies auf an $X=M_*$ und $X^*=M$.

Bei Ihrer zweiten Frage weiß ich nicht genau, welche Art von Beziehung Sie erwarten.