Beweisen Sie, dass A eine Nullmatrix ist

Question

Lassen$A$Bohne$n×n $komplexe Matrix, so dass die drei Matrizen$A+I$,$A^2+I $,$ A^3+I$sind alle einheitlich. Beweisen Sie das$ A$ist die Nullmatrix

Das versuche ich zu zeigen

$Trace( A^{\theta}A) =0$wo$A^{\theta }$ist die konjugierte Transponierte der Matrix$A$

$\because $ $Trace( A^{\theta}A)$=$|a_{11}|^2 + |a_{12}|^2....|a_{nn}|^2$

$A+I$ist einheitlich, also

$(A+I)^{\theta}(A+I)= I $

$\implies (A^ {\theta}+I)(A +I) =I $

$A^ {\theta}A+ A^ {\theta}+A = 0$

$ Trace( A^{\theta}A)= -( Trace( A^{\theta}+A))$ $ \implies Trace( A^{\theta}A)=-2$( Summe der Realteile jedes diagonalen Eintrags von A

Ich weiß nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Bitte um Hilfe

Answer 1

Beachten Sie, dass die Eigenwerte von$A^k + I$sind von der Form$\lambda^k + 1$für alle Eigenwerte$\lambda$von$A$. Andererseits müssen die Eigenwerte einer Einheitsmatrix Absolutwerte haben$1$. Also jeder Eigenwert$\lambda$von$A$erfüllt$|\lambda^k + 1| = 1$zum$k = 1,2,3$.

Ich behaupte, dass die einzige$\lambda$wofür dies gilt$\lambda = 0$. Daher,$A$hat$0$als seinen einzigen Eigenwert.

Andererseits, weil$A + I$ist einheitlich,$A^\theta A$ist normal (insbesondere finden wir das$A^\theta A = AA^\theta = -A - A^\theta$). Nach dem Spektralsatz$A$ist unitär diagonalisierbar. Weil$A$ist diagonalisierbar mit$0$als einziger Eigenwert,$A = 0$.

Answer 2

Seit$A+I$ist einheitlich,$A$ist normal. Es genügt also zu beweisen, dass der einzige Eigenwert von$A$ist$0$.

Seit$A+I$ist unitär, ein Eigenwert von$A$muss die Form haben$z-1$wo$|z|=1$. Die entsprechenden Eigenwerte von$A^2+I$und$A^3+I$sind dann$(z-1)^2+1$und$(z-1)^3+1$. Es ist zu sehen, dass die einzige$z$mit$|z|=1$und$|(z-1)^3+1|=1$ist$1$.