Bewertung begrenzen.

Question

In N. Piskunov erklärte er Differentialgleichungen am Beispiel des Luftwiderstands, der auf einen fallenden Körper wirkt. Nach Auswertung der Differentialgleichung erhält er eine Geschwindigkeitsgleichung wie folgt:$$v = \left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}.$$

Er sagt dann, dass wenn $k = 0$ dann wendet sich die Gleichung der Grundgleichung zu: $$v = v_o + gt.$$

Jetzt verstehe ich diese Aussage, denn wenn der Luftwiderstand Null ist, gilt diese Geschwindigkeitsgleichung. Ich kann diese Aussage jedoch nicht beweisen, wenn ich das Limit bewerte:$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right]$$

Jede Hilfe bei der Bewertung des Limits wäre dankbar!

Answer 1

Du hast

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_oe^{-\frac{kt}{m}} - \frac{mg}{k}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] \\ & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_{o}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} \right] \\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

Die Grenze des ersten Terms, dh $v_{o}e^{-\frac{kt}{m}}$ist einfach $v_{o}$. Für die zweite Amtszeit, da das Limit es wird$\frac{0}{0}$nach der Regel von L'Hôpital gibt

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} & = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(-e^{-\frac{kt}{m}}\left(-\frac{t}{m}\right)\right)}{1} \\ & = mg\left(\frac{t}{m}\right) \\ & = gt \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

Sie könnten auch gebrauchte dnfu ‚s Frage Kommentar aufgeführt Tatsache , denselben Wert zu erhalten. Das kombinierte Ergebnis von \ eqref {eq1A} ergibt somit

$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] = v_{o} + gt \tag{3}\label{eq3A}$$

Answer 2

Als Alternative haben wir das als Standardlimit $\frac{e^x-1}{x} \to 1$ wie $x \to 0$

$$ \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} =gt \,\frac{ e^{-\frac{kt}{m}}-1}{-\frac{kt}m} \to gt \cdot 1= g t$$

und das Ergebnis folgt.

Answer 3

Mit

$$e^{-\dfrac{kt}{m}}\approx 1-\dfrac{kt}{m},$$

$$\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\dfrac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}$$

wird

$$v_o+\left(g-\frac{kv_0}m\right)t\approx v_o+gt.$$