Bewertungsringe von $\mathbb{Q}$

Question

Frage: Was sind die Bewertungsringe von $\mathbb{Q}$?

Ich habe angefangen, algebraische Geometrie aus Daniel Bumps Buch zu lesen. Ich habe nicht wirklich viel Hintergrundwissen in der kommutativen Algebra (daher die Wahl dieses speziellen Buches, da es in diesem Sinne eigenständiger ist). Dies ist Übung 2.2 aus dem Buch.

Die Definition für den Bewertungsring $R$ eines Feldes $F$ ist das $R$ ist ein Unterring von $F$ so dass $x\in F\setminus\{0\}$ impliziert $x\in R$ oder $x^{-1}\in R$. Ich weiß auch, dass Bewertungsringe lokal sind.

Es ist leicht zu erkennen, dass Unterringe des Formulars $\{a/b\in \mathbb{Q}\; |\; p\nmid b\}$ (zum $p$ Primzahlen) sind Bewertungsringe von $\mathbb{Q}$. Die Frage läuft also darauf hinaus, ob Ringe wie diese alle Bewertungsringe von erschöpfen$\mathbb{Q}$? Ich vermute ja, das tun sie. Gibt es einen direkten (elementaren) Weg, dies zu zeigen?

Answer 1

Die Antwort lautet ja, da die Bewertungsringe in einem Feld auch durch die Eigenschaft gekennzeichnet sind, dass sie maximale Teilringe unter lokalen Teilringen für die Dominanzbeziehung sind (dh das maximale Ideal des kleineren Rings ist im maximalen Ideal des größeren Rings enthalten). .

Einige weitere Details : jeder Unterring$V\subset\mathbf Q$ enthält $\mathbf Z$, und wenn $\mathfrak m$ ist das maximale Ideal von $V$, $\mathfrak m\cap\mathbf Z $ wird durch eine Primzahl erzeugt $p$ und klar $\mathbf Z_{(p)}$ wird dominiert von $V$. Da es sich auch um einen Bewertungsring handelt, haben wir maximal$\mathbf Z_{(p)}=V$.