Bhaskara-Approximation von cos (x)

Question

Meines Wissens die beste Annäherung an $\sin$ und $\cos$ ist Bhaskara Annäherung, die ist: $$\sin(x) \simeq \frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}\qquad (0\leq x\leq\pi)$$ und $$\cos(x) \simeq\frac{\pi ^2-4x^2}{\pi ^2+x^2}\qquad (-\frac \pi 2 \leq x\leq\frac \pi 2)$$

Was ist die beste Annäherung an $\cos(x)$ zum $ -\pi\leq x\leq 0$ (durch eine reguläre Funktion)?

Answer 1

In Bezug auf die Annäherung können Sie viele Dinge tun, abhängig davon, wie viele Begriffe Sie in den Ausdruck aufnehmen möchten. Meistens erfolgt dies mit Padé-Approximanten.

Zum Beispiel für Ihre Frage mit dem einfachen $[3,2]$ Padé Approximant herum gebaut $x=-\frac \pi 2$, wir bekommen $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{7}{60} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 } {1+\frac{1}{20}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 }$$ was zu einem absoluten Fehler von führt $0.0042$ an den Grenzen.

Natürlich können Sie noch weiter gehen und die verwenden $[5,4]$ Padé Approximant $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{53}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{551 }{166320}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+\frac{13}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{5 }{11088}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ was zu einem absoluten Fehler von führt $3.0\times 10^{-6}$an den Grenzen. Dies entspricht der Taylor-Serie zu$O\left(\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^{11}\right)$.

Um Ihnen eine Vorstellung von den möglichen Verbesserungen zu geben; berücksichtige das$P_n$ ist der $[2n+1,2n]$ Padé ungefähr von $\cos(x)$ herum gebaut $x=-\frac{\pi }{2}$ und berechne die Norm $$\Phi_n=\int_{-\pi}^0 \big[\cos(x)-P_n\big]^2\,dx$$

$$\left( \begin{array}{cc} n & \Phi_n \\ 1 & 3.92 \times 10^{-6} \\ 2 & 1.26 \times 10^{-12}\\ 3 & 2.23 \times 10^{-20} \end{array} \right)$$

All dies wurde nur auf der Grundlage der Informationen (Funktions- und Ableitungswerte) bei durchgeführt $x=-\frac{\pi}{2}$.

Aber wir können versuchen, den gesamten Bereich abzudecken und zum Beispiel zu berücksichtigen $$\cos(x) \sim \left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1+a \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+b\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+c \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+d\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ und erhalten

$$a=\frac{-1952+672 \pi -192 \pi ^2+56 \pi ^3}{\pi ^3(\pi ^2-10)}$$ $$b=\frac{-3456+1056 \pi +768 \pi ^2-240 \pi ^3 } {\pi ^5 \left(\pi ^2-10\right) }$$ $$c=\frac{-192+72 \pi -104 \pi ^2+32 \pi ^3 } {\pi ^2 \left(\pi ^2-10\right) } $$ $$d=\frac{-4704+1504 \pi +400 \pi ^2-128 \pi ^3} {\pi ^4 \left(\pi ^2-10\right) }$$ Dies ergibt einen maximalen absoluten Fehler von $5.96\times 10^{-8}$ und eine Norm gleich $2.73\times 10^{-15}$ (welches ist $461$ mal kleiner als $\Phi_2$).

Sie konnten feststellen, dass die Koeffizienten denen von sehr nahe kommen $P_2$ Aber diese kleinen Änderungen machen einen großen Unterschied.

Alle diese Annäherungen wurden zur Beantwortung Ihrer Frage erstellt.

Answer 2

Es gibt keine "beste" Näherung für eine Funktion, es gibt immer kleinere Änderungen, die Sie vornehmen können, um bessere Näherungen zu erzielen.

Auf Ihre Frage können Sie jedoch die von Ihnen angegebene Annäherung massieren, indem Sie dies bemerken $$-\pi\leq x\leq 0 \iff -\frac \pi2\leq x+\frac \pi2\leq \frac \pi2$$

Answer 3

Die Annäherung für $\sin(x)$ auf $[-\pi/2, \pi/2]$ das passt zu Bhaskaras Geist, das Beste ist

$$\frac{22 \pi^2 x - 24 x^3}{\pi (7 \pi^2 + 4 x^2)}.$$

Es ist genau für $\lvert x \rvert \in\{0, \pi/6, \pi/2\}$und seine Ableitung ist an den Endpunkten Null. Verschiebung nach links$\pi/2$ um eine Annäherung von zu erhalten $\cos(x)$ auf $[-\pi, 0]$.

Dies ist eine bessere Annäherung hinsichtlich des maximalen absoluten Fehlers als die von Padé in gleichem Maße. (Der Remez-Algorithmus kann einen noch besseren finden. Siehe Abschnitt 6 dieser Darstellung.) Skalierung auf das Intervall$[-1,1]$ gibt die schönere Annäherung $$\frac{11 x - 3 x^3}{7 + x^2} \approx \sin \left(\tfrac{\pi}2 x\right).$$