Biharmonische Version von Poisson Integral

Question

Hintergrund

Das Poisson-Integral

$$ \tilde h(r e^{i \theta}) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^\pi h(e^{i \phi}) P_r(\theta - \phi) d\phi$$

übernimmt eine beliebige kontinuierliche Funktion mit komplexen Werten $h(e^{i \theta})$ auf dem Einheitskreis definiert und erweitert ihn auf eine Funktion $\tilde h(z)$ innerhalb der Einheitsplatte so definiert, dass $\tilde h(z)$ ist harmonisch ($\Delta \tilde h(z) = 0$) und hat Grenzwerte $h(z)$ auf dem Einheitskreis.

$P_r(\theta)$ ist der sogenannte Poisson-Kernel und unter anderem Darstellungen

$$P_r(\theta) = \Re \left( \frac{1 + r e^{i \theta}} {1 - r e^{i \theta}} \right) , \ \ \ \ r e^{i \theta} \in \mathbb{D}.$$

Frage

Gibt es eine andere Kernelfunktion, die ich verwenden könnte, die machen würde $\tilde h(z)$biharmonisch statt nur harmonisch in der Gerätescheibe? Das heißt, ich würde gerne etwas finden, das ich ersetzen kann$P_r(\theta)$ mit so dass $\Delta^2 \tilde h(z) = 0$.

Answer 1

Nach einem Tipp von Conrad konnte ich ein anderes Papier finden ( Tangentialgrenzwerte eines biharmonischen Poisson-Integrals in einer Scheibe ), das den "Biharmonischen Poisson-Kernel" ergibt.$\tilde P$ in Bezug auf den regulären Poisson-Kernel:

$$ \tilde P_r(\theta) = \frac{1 - r^2}{2} (P_r(\theta) + P_r^2(\theta)) $$