Binomialsatz gegen Wahrscheinlichkeit einer Sequenz

Oct 16 2020

In Daniel Kahnemans Buch "Denken, schnell und langsam" bietet er das folgende Beispiel dafür, wie unser Verstand kausale Muster zufällig identifiziert.

Ein Krankenhaus hat 6 Babys, die an einem Tag geboren werden. Wir wissen, dass männliche und weibliche Geburten gleich wahrscheinlich und Geburten unabhängig sind. Sind diese 3 Sequenzen gleich wahrscheinlich?

BBBGGG GGGGGG BGBBGB

Intuitiv denken wir jedoch nicht, da die Ereignisse unabhängig sind, haben alle 3 Sequenzen die gleiche Wahrscheinlichkeit (er gibt nicht an, aber ich nehme an, dass dies der Fall ist $0.5^6$).

Meine Frage ist, wie lässt sich dies mit der Tatsache vereinbaren, dass die Wahrscheinlichkeit, 6 Mädchen von 6 Geburten aus dem Binomial davon zu haben, weitaus geringer ist als 3 Mädchen (0,015625 gegenüber 0,3125)? Wenn die Frage nach verschiedenen Sequenzen mit dem gleichen Verhältnis von G / B-Geburten gestellt würde, hätten alle die gleiche Chance, aber ich kann nicht sehen, wie es in seiner gegenwärtigen Form wahr ist.

Antworten

6 SextusEmpiricus Oct 16 2020 at 09:49

Meine Frage ist, wie lässt sich dies mit der Tatsache vereinbaren, dass die Wahrscheinlichkeit, 6 Mädchen von 6 Geburten aus dem Binomial davon zu haben, weitaus geringer ist als 3 Mädchen (0,015625 gegenüber 0,3125)?

Die Wahrscheinlichkeit von 3 Mädchen ist die Wahrscheinlichkeit von bbbggg, bbgbgg, bbggbg, bbgggb, bgbbgg, bgbgbg, bgbggb, gbbbgg, gbbgb, gbbb, gbbb Jede dieser 20 hat eine individuelle Wahrscheinlichkeit von 0,015625, und um eine davon zu erhalten, haben Sie eine Wahrscheinlichkeit von 0,3125.

Sind diese 3 Sequenzen gleich wahrscheinlich?

BBBGGG GGGGGG BGBBGB

Intuitiv glauben wir das jedoch nicht ...

Ich kann zwei Gründe sehen, warum wir diese Einschätzungen von GGGGGG und BGBBGB unterschiedlich machen:

Microstates und Macrostates

Es gibt viel mehr Möglichkeiten, wie Sie 3 Mädchen bekommen können als nur die BGBBGB-Sequenz.

Um diese bestimmte Sequenz zu erhalten, ist es genauso wahrscheinlich, dass die BGBBGB-Sequenz die Sequenz GGGGGGG erhält. Aber wenn Sie die Gesamtzahl der Mädchen und Jungen vergleichen, sollten Sie sich für die spezifische Reihenfolge interessieren?

Oft interessiert man sich nicht für die einzelnen Details, sondern für die globalen Zahlen. Zum Beispiel interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Gesamtzahl von Jungen und Mädchen und nicht für eine bestimmte Reihenfolge.

Diese Unterscheidung zwischen Mikrozuständen und Makrostaten kommt in der Physik sehr häufig vor. Wenn zum Beispiel ein Reifen beschädigt wird, verliert er sehr wahrscheinlich den Druck und wird leer. Mikroskopisch gesehen kann ein bestimmter Deflationszustand jedoch genauso wahrscheinlich sein wie ein bestimmter Zustand, in dem er voll bleibt.

Inverse Wahrscheinlichkeit

Indirekt, wenn wir eine bestimmte binäre Sequenz "analysieren", betrachten wir nicht nur die Wahrscheinlichkeit dieser Sequenz, sondern stattdessen die relative Wahrscheinlichkeit. Dies liegt daran, dass wir oft nicht direkt an der Wahrscheinlichkeit der Beobachtung interessiert sind (nicht an erster Stelle und nur indirekt), sondern daran, was die Beobachtung über die zugrunde liegenden unbekannten Parameter aussagt. Und Beobachtungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit (bei einer bestimmten Hypothese) können immer noch eine andere Geschichte erzählen (weil sie für andere Hypothesen nicht unbedingt die gleiche Wahrscheinlichkeit haben). Es geht nicht um den Unterschied in der Wahrscheinlichkeit für verschiedene Beobachtungen, sondern um den Unterschied in der Wahrscheinlichkeit (oder dem Wahrscheinlichkeitsverhältnis ) für verschiedene Parameterwerte.

Wenn die Wahrscheinlichkeitsparameter für Jungen und Mädchen gleich sind $p_{boy}=p_{girl}=0.5$dann ist die Beobachtung GGGGGG nicht weniger oder unwahrscheinlicher als die Beobachtung BGBBGB. Die Beobachtung GGGGGG ist jedoch immer noch eine besondere Beobachtung, da sie relativ wahrscheinlich ist, wenn$p_{girl}$ist größer. Die Beobachtung GGGGGG ist wahrscheinlicher, wenn$p_{girl}>p_{boy}$ als wann $p_{girl}=p_{boy}$und deshalb heben wir es als Sonderfall hervor.

Am Ende vergleichen / bewerten wir diese Sequenzen daher häufiger anhand von Wahrscheinlichkeitsverhältnissen.

Ein Beispiel für die Wahrscheinlichkeit für den Fall einer geordneten Stichprobe von 5 ist unten ('Theta' ist hier die Wahrscheinlichkeit für ein 'b'). Sie können sehen, dass nur die Gesamtzahl (und nicht die Reihenfolge) für die Wahrscheinlichkeit relevant ist (dies bezieht sich auf die Ausreichend- keit ).