Blockmatrix mit mehreren Inversen?

Question

In diesem Wikipedia-Artikel über Blockmatrizen gibt es zwei Ausdrücke für die Umkehrung einer Blockmatrix. Diese beiden Ausdrücke hängen von der Invertierbarkeit einer der diagonalen Untermatrizen und des anderen Schur-Komplements ab.

Meine Frage ist, ob alle Umkehrbarkeitsbedingungen gelten, nämlich $\mathbf{A}$, $\mathbf{D}$, $\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}$, und $\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}$ sind alle invertierbar, sind die beiden Ausdrücke für das inverse Äquivalent?

Answer 1

Sie sind natürlich äquivalent, da die Umkehrung einer quadratischen Matrix eindeutig ist, aber Sie können ihre Gleichheit auch als eine Variante der Identität betrachten $$ (I-XY)^{-1}=I+X(I-YX)^{-1}Y\tag{1} $$ wo $X$ und $Y$ sind zwei beliebige rechteckige Matrizen, so dass $I-XY$ und $I-YX$sind invertierbar. Wenn Sie etwas über die Methode der universellen Identität gelernt haben ,$(1)$ entsteht natürlich aus der Expansion $(I-XY)^{-1}$ als formale Potenzreihe \begin{aligned} (I-XY)^{-1} &=I+XY+XYXY+XYXYXY+\cdots\\ &=I+X(I+YX+YXYX+\cdots)Y\\ &=I+X(I-YX)^{-1}Y.\\ \end{aligned} Sie können auch beweisen $(1)$ direkt: \begin{aligned} &(I-XY)\left[I+X(I-YX)^{-1}Y\right]\\ &=I-XY+X(I-YX)^{-1}Y-XYX(I-YX)^{-1}Y\\ &=I-XY+X(I-YX)(I-YX)^{-1}Y\\ &=I-XY+XY\\ &=I. \end{aligned} Jedenfalls, wenn wir sagen $X=BD^{-1}$ und $Y=CA^{-1}$ in $(1)$, wir erhalten \begin{aligned} (I-BD^{-1}CA^{-1})^{-1}&=I+BD^{-1}(I-CA^{-1}BD^{-1})^{-1}CA^{-1},\\ A(A-BD^{-1}C)^{-1}&=I+B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1},\\ (A-BD^{-1}C)^{-1}&=A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}.\\ \end{aligned}