Bruchfeld von $\mathbb Z_p[[X]]$

Question

Wir wissen, dass das Bruchfeld $F:=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ist streng im Bereich der Laurent Power Series enthalten$\mathbb Q_p((X))$Dank dieses Ergebnisses von Gilmer. Meine Frage lautet also:

Ist es möglich, die Elemente von explizit zu beschreiben? $F$?

Einige ähnliche Fragen wurden bereits hier oder in Mathoverflow gestellt. Das vielleicht relevanteste ist dieses bezüglich der expliziten Berechnung des Bruchfeldes von$\mathbb Z[[X]]$. Jemand schlägt in den Kommentaren der verknüpften Frage vor, dass das Problem mit$\mathbb Z_p$ (Anstatt von $\mathbb Z$) sollte einfacher sein.

Einige allgemein notwendige Bedingungen werden hier angegeben , wenn die Koeffizienten der Potenzreihen in einem beliebigen Bereich liegen, aber ich möchte im speziellen Fall von einige ausreichende Bedingungen finden$\mathbb Z_p$.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Angenommen, Sie haben eine Potenzreihe $\sum_k a_kX^k \in \mathbb Z_p[[X]]$.

Wenn es ungleich Null ist, können Sie es als schreiben $X^np^m\sum_k b_kX^k$ mit $b_0 \notin (p)$.

Insbesondere als $\mathbb Z_p$ ist lokal, $b_0$ ist invertierbar und so $\sum_kb_k X^k$ ist auch invertierbar: Sie müssen nur invertieren $X^np^k$

Speziell, $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]]) = \mathbb Z_p[[X]] [X^{-1}, p^{-1}]$.

Also ein Element $f\in \mathbb Q_p((X))$ ist in $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ genau dann, wenn die $p^n$ in den Nennern sind begrenzt

(Die obige Beschreibung zeigt das Bit "nur wenn" und für "wenn": Wenn sie begrenzt sind, multiplizieren Sie mit $p^k$ zum $k$ groß genug lässt dich landen $\mathbb Z_p((X))$)

Wie YCor in den Kommentaren der MO-Frage über betont $\mathbb Z[[X]]$In lokalen Ringen ist die Frage wahrscheinlich allgemeiner einfacher, obwohl ich hier tatsächlich verwendet habe, dass das maximale Ideal das Prinzip war (dies funktioniert also über diskrete Bewertungsringe).