Codimension zwei Schieferungen mit Querflächen

Question

Angenommen, ich habe einige geschlossen$4$-Verteiler$X$und eine Codimension-zwei-Foliation$\mathcal{F}$, sowie eine geschlossene Oberfläche$\Sigma$der nichtnegativen Selbstüberschneidung, die überall quer dazu ist$\mathcal{F}$.

Was für Einschränkungen gibt es dann bei der Folierung$\mathcal{F}$? Diese Frage gibt einige Antworten für den Fall, wo$X$ist eine komplexe Oberfläche und$\mathcal{F}$ist holomorph, aber ich interessiere mich mehr dafür, was im realen Fall passiert.

Answer 1

In diesem realen Fall gibt es nur wenige Einschränkungen. In der Tat, wählen Sie$\Sigma\subset X$so dass$X$lässt ein glattes 2-Ebenen-Feld zu$\xi$(nicht unbedingt integrierbar) quer zu$\Sigma$. Dann ist es leicht, leicht zu stören$\xi$um es auf einer kleinen Nachbarschaft integrierbar zu machen$\Sigma$. Dann, nach einem Satz von Thurston (Commentarii 1974),$\xi$, von realer Dimension$2$, kann homotopiert werden rel.$\Sigma$überall integrierbar zu werden. Sie können sogar mit dem Verlängern beginnen$\xi$bis hin zu einer Teilfolierung Ihrer Wahl gegenüber einer beliebigen regulären Teilmenge$X$. Die Möglichkeiten sind also enorm.