D / A-Wandler mit
Ich versuche herauszufinden, wie man die Digital-Analog-Wandlung in Betracht zieht und wie man Oversampling basierend auf einem Kurs, den ich online absolviere, in Betracht zieht und die Logik dahinter herausfindet. Leider gibt es zu diesem Thema im Lehrbuch nur sehr wenig, und ich bin mir nicht sicher, wo ich anfangen soll.
Stellen Sie sich einen D / A-Wandler für Audiosignale vor, der aus einem Halteinterpolator nullter Ordnung gefolgt von einem zeitkontinuierlichen Tiefpassfilter mit positivem Durchlassbereich dazwischen besteht $0$ und $20 KHz$ und Stoppband ab $f_a=40 KHz $.
Angenommen, wir möchten ein digitales Signal konvertieren, das ursprünglich mit abgetastet wurde $16 KHz$. Was ist der minimale Oversampling-Faktor, den wir verwenden müssen?
Ich bin etwas festgefahren, wie die Durchlassbandfrequenzen sowie die digitale Abtastfrequenz beeinflusst werden, wenn D / A gegen A / D geschaltet wird. Was wäre der Ansatz, um darüber nachzudenken? Ich bin mir der Nyquist-Frequenz bewusst, aber da die Richtung von Digital zu Analog nicht völlig analog (entschuldigen Sie das Wortspiel) zu Analog zu Digital ist, wenn ich über Oversampling nachdenke, bin ich mir nicht sicher, was ich hier tun soll.
Antworten
Die kurze Antwort lautet: Für jedes digitale Signal ist das Frequenzspektrum periodisch und wiederholt sich mit einem Vielfachen der Abtastrate. Der D / A-Ausgang ist das periodische Spektrum, das durch eine Sinc-Antwort aufgrund der Treppenrekonstruktion (Halten nullter Ordnung) geformt wird, wobei die erste Null des Sinc bei der Abtastrate liegt. Mit dem zeitkontinuierlichen Tiefpassfilter sollen diese Kopien des Spektrums entfernt werden, die sonst zu Verzerrungen führen würden. Wenn das Signal ursprünglich mit 16 kHz abgetastet wurde, gibt es alle 16 kHz Kopien des Audiospektrums. Wenn der DAC-Ausgang ein Filter hat, das sich auf 20 kHz erstreckt und bei 40 kHz zu unterdrücken beginnt, können wir davon ausgehen, dass das analoge Spektrum im Basisband (aufgrund der 16-kHz-Abtastrate) weniger als 8 kHz beträgt, und von diesem nach dem Lesen des Einzelheiten unten sollten klar sein, wie hoch die minimale Abtastrate sein muss, um sicherzustellen, dass alle Hochfrequenzreplikationen des Spektrums größer sind als der 40-kHz-Grenzwert des Tiefpassfilters. Dies impliziert, dass ein digitales Resampling mit einer höheren Rate (mit einer eigenen Filterung derselben Bilder) erforderlich wäre, bevor der DAC erforderlich ist.
Vollständige Details unten:
Hier würde das Verständnis des OP für den A / D-Prozess gelten, mit dem zusätzlichen Effekt des Haltens nullter Ordnung. Lassen Sie mich diese nacheinander erklären, beginnend mit Analog zu Digital (A / D) und dann von Digital zu Analog (D / A).
Das digitale Spektrum hat eine periodische Frequenz. Was auch immer sich in der ersten Nyquist-Zone befindet, die sich von erstreckt$-f_s/2$ zu $+f_s/2$ (mit $f_s$als Abtastrate) würde sich in jeder anderen Nyquist-Zone replizieren, wie in den folgenden Diagrammen detailliert dargestellt, die die Abtastspektren zeigen, die sowohl für reale als auch für komplexe Signale von analog zu digital gehen. Die Periodizität kann wie folgt erklärt werden: Der Abtastvorgang ist das Produkt eines Impulsstroms in der Zeit mit einem analogen Zeitbereichssignal. Die Fourier-Transformation eines Impulsstroms in der Zeit (wiederholte Impulse während der Abtastperiode) ist ein Strom von Impulsimpulsen, wie er durch die mittleren Spektren des "Abtastprozesses" in den nachstehenden Darstellungen gegeben ist, wobei ein Impuls bei Vielfachen der Abtastrate auftritt . Die zeitliche Multiplikation ist eine Frequenzfaltung, daher faltet sich das Abtastprozessspektrum mit dem analogen Eingangsspektrum und repliziert es dadurch bei jedem Vielfachen der Abtastrate.
Das endgültige Ausgangsspektrum ist nur im Bereich von einzigartig $-f_s/2$ zu $+f_s/2$, so zeigen wir oft nur, dass es auch schon darstellt, was im Spektrum ist, wenn wir es erweitern $-\infty$ zu $+\infty$. Wenn ich mich jedoch mit der A / D-Grenze befasse und mit der Mehrraten-Signalverarbeitung arbeite, finde ich es intuitiv hilfreich, das mentale Modell der digitalen Frequenzachse mit Periodizität bis zu verlängern$\pm \infty$.
Wenn wir mit D / A-Wandlung von Digital zu Analog wechseln, bleibt dieses erweiterte periodische Spektrum erhalten. Es stellt sogar im Analog dar, wie das Spektrum aussehen würde, wenn wir die Darstellung des Signals mit periodischen Impulsen beibehalten könnten: Das heißt, wenn der D / A-Ausgang nur gewichtete Impulse in der Zeit und dazwischen Null als analoges Signal wären, würden wir hätte in der analogen Welt immer noch das gleiche periodische Ausgangsspektrum. Das Problem bei diesem Ansatz ist die begrenzte Ausgangsleistung und damit das Ausgangs-SNR (Signal-Rausch-Verhältnis), das wir erhalten können, wenn wir versuchen, einen Impuls in der Zeit zu approximieren, verglichen mit dem SNR, das mit dem Hold-Ansatz nullter Ordnung erreicht werden kann.
Das Halten nullter Ordnung ist die klassische D / A-Wandlertopologie. Wir halten jedes Ausgangsmuster und erstellen eine Treppenhausdarstellung unserer ursprünglichen Wellenform und anschließend ein Tiefpassfilter, um die Schätzung der interpolierten kontinuierlichen Zeitwellenform abzuschließen. Der Nachteil bei diesem Ansatz ist der auftretende Sin (x) / x (Sinc) -Drop: Ein Halten nullter Ordnung ist dasselbe wie das zeitliche Falten der gewünschten Ausgangsimpulse mit einem Rechteckimpuls über die Breite der Abtastperiode. Die zeitliche Faltung ist die Multiplikation der Frequenz und die Fourier-Transformation des Rechteckimpulses$T$ wide ist eine Sinc-Funktion mit der ersten Null bei $1/T$Welches ist die Abtastrate. Somit ist das Spektrum am Ausgang des DAC das Produkt des periodischen digitalen Spektrums mit diesem Sinc, wie im unteren Spektrum unten dargestellt.
Es gibt D / A-Architekturen, die eine engere Annäherung an einen Impulsausgang bieten, beispielsweise den D / A-Wandler Return to Zero (RZ). Bei diesem Ansatz kehrt der Ausgang nach der Hälfte der Abtastperiode auf Null zurück und ist somit das Ergebnis der Faltung eines halb so breiten Rechteckimpulses, wobei die erste Null herausgedrückt wird, bis sie auftritt$2f_s$Reduzieren des Durchlassbereichsabfalls entsprechend auf Kosten der Signalleistung.
gemäß dem Nyquist-Theorem ist der Bereich von x [n] (-16/2) <x [n] <(16/2), dh -8 <x [n] <8, die Quantisierungsbits sind gegeben in Form von 2 ^ n, was gleich 8 ist, also 2 ^ n = 8, dh n = 3.