Das Differential der Exponentialkarte

Question

Lassen $G$sei eine Lügengruppe. Die Exponentialkarte

$$\exp: T_e G \to G$$

ist definiert durch $\exp (X)=c_X(1)$, wo $c_X$ ist die maximale Integralkurve mit Anfangspunkt $e$ des linken invarianten Vektorfeldes $v_X$ auf $G$ bestimmt durch $v_X(e)=X$oder genauer gesagt $v_X(e)=d_e(l_x)X,$ wo $l_x$ ist die linke Übersetzung von $x$ auf der Lie-Gruppe $G$.

Ich frage mich, wie ich beweisen kann, indem ich nur die obigen Definitionen verwende, wenn wir das Differential von nehmen $\exp:T_e G \to G$, wir bekommen

$$d_0(\exp)X=\frac{d}{dt}\exp(tX)|_{t=0}. $$

Hinweis $d_0(\exp)$ ist eine Karte $T_0(T_e G)\to T_e G$.

Answer 1

Dies ist die Definition des Differentials. Denken Sie daran, wann$f: M\to N$ ist eine differenzierbare Zuordnung und $x\in M$, dann $$d_x f : T_xM \to T_{f(x)}N$$ ist wie folgt definiert: let $X\in T_xM$. Dann gibt es eine glatte Kurve$\gamma : (-\epsilon, \epsilon) \to M$ damit $\gamma(0) = x$ und $\gamma'(0) = X$(in der Tat ist dies mehr oder weniger die Definition eines Tangentenvektors). Dann per Definition$$ d_x f (X) = \frac{d}{dt} (f\circ \gamma)(t) \bigg|_{t=0}.$$

In deinem Beispiel $\exp : T_eG\to G$, dann haben wir $d_0 \exp : T_0(T_e G) \to T_eG$, gegeben von $$ d_0 \exp (X) = \frac{d}{dt} \exp (\gamma (t))\bigg|_{t=0}$$ wenn man wählt $\gamma (t) = tX$Wir stellen Ihre Gleichung wieder her.