Definition der Äquivalenz von Knoten

Question

Ich habe gerade angefangen, eine Einführung in die Knotentheorie von WB Raymond Lickorish zu lesen, und mir die folgende Definition ausgedacht:

Definition. Zwei Knoten$K_1$ und $K_2$ sind äquivalent, wenn ein orientierungserhaltender PL-Homöomorphismus vorliegt $h: S^3 \to S^3$ so dass $h(L_1) = L_2$.

Ich kann nicht verstehen, warum diese Definition den beiden Knoten entspricht, die isotopisch sind. Kann mir jemand helfen? Warum muss es orientierungserhaltend sein? Würde es funktionieren, wenn es wäre?$h: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$?

Answer 1

Diese Definition stützt sich auf eine wichtige Tatsache zur PL-Topologie (oder glatten Topologie): if $h: S^3 \to S^3$ ist ein orientierungserhaltender PL-Homöomorphismus, dann gibt es eine Isotopie $H : [0,1]\times S^3\to S^3$ so dass $H_0=\operatorname{id}_{S^3}$ und $H_1=h$. Dies liegt daran, dass die Zuordnungsklassengruppe von$S^3$ist trivial. Schon seit$h(L_1)=L_2$, dann $H_t|_{L_1}:L_1\to S^3$ ist eine Isotopie von $L_1$ zu $L_2$ durch PL-Einbettungen.

Das uneingeschränkte $H$ist als Umgebungsisotopie bekannt. Was Sie von einer Definition der Isotopie von Knoten erwarten, ist die Erweiterung der Isotopie auf Umgebungsisotopien. Intuitiv sollte sich das Ziehen der Knoten auch auf das Ziehen im Umgebungsraum erstrecken. Warum ist das? Sie möchten, dass alle Arten von peripheren Strukturen wie Seifert-Oberflächen auch entlang der Isotopie folgen können. Wenn Sie eine kontinuierliche Familie haben$h:[0,1]\times S^1 \to S^3$von PL-Einbettungen erstreckt sich dies tatsächlich auf eine Umgebungsisotopie. Und da die Mapping-Klassengruppe trivial ist, sind die einzigen Daten, die Sie daraus benötigen, der einzelne orientierungserhaltende PL-Homöomorphismus von$S^3$ das trägt den Knoten zum Endergebnis der Isotopie.

Hier ist ein seltsames Detail: während $h:S^3\to S^3$ kommt von einer Umgebungsisotopie, es kann viele Umgebungsisotopien geben, von denen es kommt, die nicht isotopisch zueinander sind (ja, nicht-isotopische Isotopien :-)). Dies kann passieren, wenn ein Knoten eine Verbindungssumme ist: Eine Verbindungssumme von zwei rechtshändigen Kleeblattknoten hat eine Isotopie, die die beiden Verbindungssummen vertauscht, und diese Isotopie sollte nicht isotopisch zur Identitätsisotopie sein. Dieses Detail spielt jedoch für die Definition der Knotenäquivalenz keine Rolle.