Definition des parallelen Transports
Die Definition des parallelen Transports lautet $t^iD_i u^j=0$, wo $\vec{t}$ ist der Tangentenvektor zur Kurve und $\vec{u}$ist der Vektor, der parallel entlang der Kurve transportiert wird. Im flachen Raum haben wir unter Verwendung der obigen Definition$t^i \partial_i u^j=0$und normalerweise parallele Transportmittel $\partial_i u^j=0$, was darauf hindeutet, dass alle Komponenten in flachen Koordinaten konstant sind. Jedoch von$t^i \partial_i u^j=0$, es scheint, dass solange die Änderung des Vektors $\vec{u}$ ist senkrecht zum Tangentenvektor $\vec{t}$Es ist auch eine Lösung. Würde dies nicht zu Unklarheiten bei der Definition des Parallelverkehrs führen?
Antworten
$t^i \partial_i u^j$ ist die Richtungsableitung von $u^i$ in der Richtung von $t^i$. Null ist die Bedingung für den parallelen Transport entlang einer Kurve : Sie benötigen nicht alle partiellen Ableitungen von$u^i$ Null sein, weil es dir egal ist, was passiert, wenn du dich nicht in Richtung bewegst $t^i$.
Die Komponente der Änderung von $u^i$ in der Richtung von $t^i$ist jedoch $t_j \partial_i u^j$. Beachten Sie, dass es das ist$u$ Index, mit dem ein Vertrag abgeschlossen wurde $t$, nicht die Ableitung. Das ist weil$t$ sagt Ihnen nicht, in welche Richtung Sie die Ableitung nehmen sollen (um eine Richtungsableitung zu haben, benötigen wir eine zusätzliche $t^i$), aber in welche Richtung projizieren Sie das Ergebnis der Ableitung. Wie Sie bereits bemerkt haben, können Sie ein Vektorfeld haben, das nicht parallel transportiert wird, für das dies jedoch immer noch Null ist.
Es gibt keine Summe vorbei $j$ im $t^i \partial_i u^j=0$. Es sind vier Gleichungen (in 4D), die die Konstanz jeder Komponente von ausdrücken$u$ entlang der Kurve. $\partial_i u^j=0$ ist sechzehn Gleichungen, die die Konstanz jeder Komponente von ausdrücken $u$ in alle Richtungen.