Definition einer n-Kategorie
Was ist die Standarddefinition eines $n$-Kategorie ab 2020? Die Literatur, auf die ich zurückgreifen kann, ist ziemlich begrenzt, aber ich werde mein Bestes geben, um aufzulisten, was ich bisher hatte.
In [Lei2001] demonstrierte Leinster 10 verschiedene Definitionen für eine $n$-Kategorie und machte keinen Kommentar, ob sie gleichwertig sind oder nicht. In [BSP2011] stellten die Autoren Axiome auf und behaupteten, dass alle (viele?) Definitionen eines$(\infty,n)$-Kategorien erfüllen bisher ihre Axiome und sind daher gleichwertig (bis zu einer gewissen Aktion). Der Vollständigkeit halber füge ich diese Definitionen hier ein:
- (a) Charles Rezks komplette Segal-Räume,
- (b) die n-fach vollständigen Segalräume,
- (c) André Hirschowitz und Simpsons Segal n-Kategorien,
- (d) die n-relativen Kategorien von Clark Barwick und Dan Kan,
- (e) Kategorien, die mit einer internen Modellkategorie angereichert sind, deren zugrunde liegende Homotopietheorie eine Homotopietheorie von (∞, n) -Kategorien ist,
- (f) wenn n = 1, Quasikategorien von Boardman und Vogt,
- (g) wenn n = 1, Luries markierte einfache Mengen und
- (h) wenn n = 2, Luries skalierte einfache Mengen,
Allerdings sind alle Fälle , in [Lei2001] scheinen nicht abgedeckt, und es gibt noch mehr werden hier . Was ist der entscheidende Unterschied zwischen der Definition eines$n$-Kategorie und ein $(\infty,n)$-Kategorie?
Frage
Kurz gesagt, es gibt viele Definitionen für höhere Kategorien. Welche sollten wir also verwenden? Gibt es eine Liste aller vorgenommenen Definitionen und eine Diskussion darüber, welche in welchem Sinne welcher entspricht? Gibt es auch Diskussionen darüber, welche Definition die drei Hypothesen erfüllt?
- Stabilisierungshypothese
- Verwicklungshypothese
- Cobordismus-Hypothese
postuliert in [BD1995]?
Referenz
- [Lei2001]: Ein Überblick über die Definitionen der n-Kategorie- [Tom Leinster] - [arXiv: math - 0107188]
- [BSP2011]: Zur Einheitlichkeit der Homotopietheorie höherer Kategorien - [Clark Barwick und Christopher Schommer-Pries] - [arXiv: 1112.0040]
- [BD1995]: Höherdimensionale Algebra und topologische Quantenfeldtheorie - [John C. Baez und James Dolan] - [arXiv: q-alg - 9503002]
verbunden
- Entwicklungen über verschiedene Grundlagen hinweg übersetzen
Antworten
Erstens gibt es wichtige Unterschiede zwischen den Begriffen strikt $n$-Kategorie, schwach $n$-Kategorie und $(\infty,n)$-Kategorie. Der einfachste Begriff ist der eines strengen$n$-Kategorie, und es gibt keinen Zweifel an der Definition dort : eine strenge$0$-Kategorie ist eine Menge und durch Induktion eine strenge $n$-Kategorie ist eine Kategorie, die in der Kategorie von angereichert ist $(n-1)$-Kategorien.
Es ist gut, dass Sie das Papier von Baez und Dolan zitiert haben, in dem ein frühes Modell für die Vorstellung eines Schwachen vorgestellt wurde $n$-Kategorie. Zwischen 1995 und 2001 gab es eine enorme Verbreitung anderer Modelle. Moralisch sollten sie Kategorien sein, die in der Kategorie der Schwachen schwach angereichert sind$(n-1)$-Kategorien, aber es gibt viele Möglichkeiten, eine schwache Anreicherung zu definieren, da es viele Möglichkeiten gibt, höhere Zellen zu verfolgen und wie sie sich verbinden. Im Jahr 2004 gab es eine Konferenz, auf der versucht wurde, alle zusammenzubringen und die Gemeinsamkeiten zwischen den Modellen herauszufinden, die denen anderer gleichwertig waren. Es hat nicht dazu geführt, dass eines als "Standard" -Modell aufgetaucht ist, und ich denke nicht, dass Sie damit rechnen sollten, dass dies bald geschehen wird. Allerdings wissen wir jetzt, dass Modelle für schwache$n$-Kategorien fallen grob in zwei Lager. Wikipedia sagt es schön :
Grundsätzlich gibt es zwei Klassen von Theorien: jene, in denen die höheren Zellen und höheren Zusammensetzungen algebraisch realisiert werden (am bemerkenswertesten Michael Batanins Theorie der schwachen höheren Kategorien) und jene, in denen topologischere Modelle verwendet werden (z. B. eine höhere Kategorie als einfache Menge, die befriedigt) einige Universalitätseigenschaften).
Wikipedia sagt auch: "Es wurden mehrere Definitionen gegeben, und die Aussage , wann sie gleichwertig sind und in welchem Sinne, ist zu einem neuen Untersuchungsgegenstand in der Kategorietheorie geworden." Dies entspricht meinem derzeitigen Verständnis des Fachgebiets. Ich denke, dass die Theorie höherer Kategorien an Fragen zu den vielen Modellen für Schwache interessiert ist$n$-Kategorien. Das ist anders als das Studium von$(\infty,n)$-Kategorien, die mehr in der Homotopietheorie liegt.
Jetzt könnten andere mitkommen und sagen "$(\infty,n)$-Kategorien sind das Richtige ", weil MathOverflow eine größere Repräsentation von Homotopietheoretikern als Theoretiker höherer Kategorien hat. Sie könnten das gleiche Gefühl haben, wenn Sie das nLab lesen, wiederum basierend darauf, wer dort schreibt. Aber wenn Sie in Sydney, Australien, rumhängen, Wo die Theorie der höheren Kategorie lebendig und gut ist, werden Sie keine Leute sagen hören $(\infty,n)$-Kategorien sind das "richtige" Modell oder das Einheitssatz für $(\infty,n)$-Kategorien lösen das Problem von 2004, herauszufinden, welche Modelle von schwachen $n$-Kategorien sind gleichwertig.
Es gibt auch viele laufende Arbeiten im Zusammenhang mit der Stabilisierungshypothese, der Verwicklungshypothese und der Cobordismushypothese in verschiedenen Schwachstellenmodellen $n$-Kategorien. Zum Beispiel hat Batanin kürzlich die Stabilisierungshypothese für Rezks Modell basierend auf bewiesen$\Theta_n$-spaces. Dann gaben Batanin und ich einen weiteren Beweis , der für eine ganze Klasse von Definitionen von schwach gilt$n$-Kategorien, einschließlich Rezks Modell. Bereits 1998 hat Carlos Simpson die Stabilisierungshypothese für Tamsamanis Definition schwacher n-Kategorien bewiesen. Gepner und Haugseng bewiesen die Stabilisierungshypothese für$(\infty,n)$-Kategorien und die Art der schwachen Anreicherung, die Sie mit Haugsengs Doktorarbeit (über angereichert) erhalten würden $\infty$-Kategorien). Natürlich hat Lurie bekanntlich Tausende von Seiten geschrieben, um die Cobordismus-Hypothese für zu beweisen$(\infty,n)$-Kategorien, und Ayala und Francis gaben einen kürzeren Beweis unter Verwendung der Faktorisierungshomologie.
Ich bin sicher, es gibt eine Menge Literatur, die ich vermisst habe, und ich bin sicher, einige werden mir nicht zustimmen, wenn sie sagen: "Ja, es ist immer noch wertvoll, Modelle von Schwachen zu studieren $n$-Kategorien anstatt nur zu studieren $(\infty,n)$-Kategorien. "Aber Sie haben nach Referenzen gefragt. Hier sind einige, um Ihnen den Einstieg zu erleichtern.