Delta-Neutralität (Ableitung)

Question

Ich bin verwirrt über die Mathematik für das deltaneutrale Portfolio.

Angenommen, wir haben eine Short-Position in einer europäischen Call-Option mit Preis $p(t,S_t)$ und wollen es mit der Aktie mit Preis absichern $S_t$. Der Portfoliowert beträgt$X(t,S_t)=-p(t,S_t)+\Delta\times S_t$. Um das Portfolio deltaneutral zu machen, muss das Portfolio unempfindlich gegenüber Änderungen in sein$S_t$Also haben wir $\frac{\partial X}{\partial S}=-\frac{\partial p}{\partial S}+\Delta=0$(unter der Annahme$\Delta$ hängt nicht davon ab $S$). Aber irgendwie geben von hier aus alle Lehrbücher$\Delta=\frac{\partial p}{\partial S}$ was im Allgemeinen gegen die Annahme verstößt, dass $\Delta$ hängt nicht davon ab $S$.

Um dies klarer zu sehen, das Portfolio $Y(t,S_t)=-p(t,S_t)+\underbrace{\frac{\partial p}{\partial S}}_{=\Delta}\times S_t$ ist nicht deltaneutral, weil $\frac{\partial Y}{\partial S}=-\frac{\partial p}{\partial S}+\frac{\partial^2 p}{\partial S^2}S+\frac{\partial p}{\partial S}\neq 0$(es sei denn, es ist gammaneutral). Was ist der Fehler? Was vermisse ich bei der Ableitung?

Update: Ich konnte zeigen, dass wenn man Itos Lemma auf das Portfolio anwendet$Y$, dann $dY_t = -\left(\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 p}{\partial S^2}\sigma^2 S_t^2 \right)dt$ das ist unabhängig von $dS_t$. Aber jetzt ist meine Frage: Woher kommt die Idee der Gamma-Absicherung? Wieder eine rigorose Methode, um die Tatsache zu ermitteln, dass Gamma benötigt wird.

Answer 1

Diese Diskussion hat mich auch ein wenig verwirrt, daher werde ich etwas hinzufügen, das möglicherweise klarstellt, obwohl dies höchstwahrscheinlich nicht der Fall sein wird. Es ist auch eine Erinnerung daran, dass ich die Programmierung beenden und die Theorie der Optionspreise auffrischen muss.

Das Black Scholes-Hedge-Portfolio besteht aus: $$ \Pi_t = \frac{\partial V}{\partial S}(t,S_t)S_t + \left[1 - \frac{\partial V}{\partial S}(t,S_t)\right]B_t $$ wo $B_t$ist der risikofreie Vermögenswert. Differenzieren in Bezug auf$S$ Wie üblich haben wir das Portfolio-Delta: $$ \frac{\partial^2 V}{\partial^2 S}(t,S_t) + \frac{\partial V}{\partial S_t}(t,S_t) - \frac{\partial^2 V}{\partial^2S} (t,S_t) = \frac{\partial V}{\partial S}(t,S_t) $$ was bedeutet, dass dies kombiniert (entgegengesetzte Vorzeichen) mit einer Einheit von $V$ ist ein lokal risikofreies Portfolio.

Es gibt höchstwahrscheinlich einige Strenge, die hier in Bezug auf die Verwendung von Derivaten von nirgends differenzierbaren Funktionen wie übersehen wird $S_t$ - Alle Poster können und sollten sich frei fühlen, die Lücken zu füllen.