Der Beweis jeder PID ist Noetherian
Ich habe den Beweis für diesen Vorschlag hier gesehen , aber ich habe eine Frage dazu.
Die Definition des Noether-Rings ist, dass der Ring kommutativ ist und jedes Ideal von R endlich erzeugt wird, oder? Der Hauptring ist, dass jedes Ideal eines Rings durch ein einzelnes Element erzeugt wird, also ist es klar. Aber ich bin neugierig, dass nicht nur PID, sondern auch der Hauptring Noetherian ist.
Vielen Dank!
Antworten
Sie haben Recht, es hat nichts damit zu tun, eine Domain zu sein.
In einem Hauptidealring werden alle Ideale endlich erzeugt, weil sie erst recht einzeln erzeugt werden. Das heißt, ein Ein-Element-Erzeugungssatz ist ein endlicher Erzeugungssatz!
Die Sache ist, dass Autoren in einigen Kontexten nur an Domänen festhalten. Es ist also kein großes Rätsel, die Domain-Bedingung einzubeziehen, es ist nur eine Kontextsache.