Der Uniformizer ist ein Generator des maximalen Ideals

Question

Ich kann nicht verstehen, warum Uniformizer ein Generator für das maximale Ideal in "Joseph H. Silverman, Die Arithmetik der elliptischen Kurven " ist, der wie folgt lautet:

$$\text{ord}_p: \bar K[C]_p \to \{ 0,1,\dots \} \cup \{ \infty \}$$

wo $C$ ist eine Kurve und $$\text{ord}_p(f) = \sup \{ d \in \mathbb N : f \in M^{d} _p \} , \\ M_p = \{ g \in \bar K [C] : g(p) = 0 \} .$$

Ein Uniformizer für $C$ beim $P$ ist eine beliebige Funktion $ t \in \bar K [C]$ mit $\text{ord}_p(t)＝1$

Silverman sagt, Uniformizer sei ein Generator für das Ideal$M_p$.

Ich möchte den Beweis dafür verstehen, das heißt, der Uniformizer ist ein Generator. Ich habe zuerst versucht zu zeigen$t$ ist ein Generator von $M_p/M_p^2$und benutze Nakayamas Lemma. Vielleicht ist das ein Überdenken. Ich glaube, diese Aussage hat einen recht einfachen Beweis.

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Gegeben $g \in M_p$, dann $g(p) = 0$ so $\DeclareMathOperator{\ord}{ord} \ord_p(g) \geq 1$. Schon seit$\ord_p(t) = 1$, dann $$ \ord_p(g/t) = \ord_P(g) - \ord_p(t) = \ord_P(g) - 1 \geq 0 $$ so $g/t \in \overline{K}[C]_p$ schon seit $\overline{K}[C]_p$ ist der Bewertungsring von $\ord_p$. Dann gibt es eine Funktion$h \in \overline{K}[C]_p$ so dass $g = ht$, so $g \in (t)$. So$M_p \subseteq (t)$ und die andere Aufnahme ist unmittelbar.

(Sie könnten sicherlich Nakayamas Lemma verwenden, um dies zu beweisen. Seitdem $M_p/M_p^2$ ist $1$-dimensional und $t \notin M_p^2$, dann $\{t\}$ ist eine Basis für $M_p/M_p^2$.)