Der Ursprung des Lagrange
Ist es möglich, die Form von Lagrange zu erklären $L=T-V$ und Handlungsprinzip auf folgende Weise?
Die Kraft, die auf ein Massenteilchen wirkt, ist auf das Potential zurückzuführen $V(x)$. Diese Kraft treibt das Teilchen an, um seine potentielle Energie zu minimieren. Wir wissen auch, dass die Anziehungskraft eine negative Form potentieller Energie ist. Andererseits impliziert das Trägheitsgesetz, dass das Massenteilchen dazu neigt, die Beschleunigung zu behindern und somit seine kinetische Energie zu minimieren, aber dies erhöht die potentielle Energie durch Kraft. Während eines Bewegungsprozesses vom Punkt$x_1$ darauf hinweisen $x_2$ zwischen den Zeiten $t_1$ und $t_2$Das Massenteilchen neigt zu jedem Zeitpunkt dazu, die Summe seiner kinetischen und attraktiven potentiellen Energie, dh des Begriffs, zu minimieren $L=T-V$. Auch wenn das Integral extremisiert werden soll, spielt es keine Rolle, ob wir uns entscheiden$L=T-V$ oder $L=V-T$.
EDIT : Wir wissen auch, dass ein dynamisch-mechanisches System zum zeitunabhängigen Gleichgewicht neigt$T=V$. Wenn es das hält$T \neq V$dann ist der Nichtgleichgewichtszustand ein dynamisches System, zu dem in jedem Zeitintervall tendiert $T=V$das heißt, um die Aktion zu minimieren. Jetzt sehen wir das wenn$T \neq V$, dann hat das System eindeutig eine Gleichgewichtssuchaktion !
Antworten
Wie Sie betonen: Der Lagrange muss sicherlich die Tatsache nutzen, dass bei jeder Umwandlung von kinetischer Energie und potentieller Energie die Abnahme und Zunahme zueinander passen müssen .
Wir können das wie folgt wiederholen:
Während der gesamten Zeit ist die Änderungsrate der kinetischen Energie gleich der Minus-Änderungsrate der potentiellen Energie:
In mathematischer Notation:
$$ \frac{d(E_k)}{dt} = \frac{d(-E_p)}{dt} \qquad (1) $$
Natürlich ist in dieser Gleichung das Minuszeichen vorhanden, weil sich die kinetische Energie und die potentielle Energie in die entgegengesetzte Richtung ändern.
Ich werde diese Gleichung als Energiegleichung bezeichnen . Um die Form des Lagrange zu erklären, ist die Energiegleichung wesentlich.
Die folgende Animation besteht aus 7 Bildern. Jedes Bild wird 3 Sekunden lang angezeigt.
Im oberen linken Unterfeld des kombinierten Diagramms repräsentiert die schwarze Linie eine Versuchstrajektorie. Die Animation durchläuft eine Reihe von Flugbahnvariationen.
Im oberen rechten Unterfeld:
Rote Grafik: kinetische Energie
Grüne Grafik: minus potenzielle Energie
Die Versuchstrajektorie trifft die wahre Trajektorie, wenn der rote und der grüne Graph überall parallel zueinander sind.
Um den Graphen zu vergleichen, wurde die potentielle Energie (grün) auf den Kopf gestellt und das Minuszeichen ausgedrückt.
Das Diagramm zeigt die folgenden Bedingungen:
Gesamtdauer: 2 Sekunden (von t = -1 bis t = 1)
Gravitationsbeschleunigung: 2 m / s
Masse des Objekts: 1 Masseneinheit.
Unter diesen Bedingungen wird die wahre Flugbahn durch die folgende Funktion angegeben, die die Höhe 'h' als Funktion der Zeit angibt:
$$ h(t) = -t^2 + 1 $$
Die Variation wurde folgendermaßen implementiert:
$$ h(t, p_v) = (1 + p_v)(-t^2 + 1) $$
Das heißt, die Versuchstrajektorie wird als Funktion von zwei Variablen ausgedrückt: Zeit und Variationsparameter p_v Im Diagramm wird der (aktuelle) Wert des Variationsparameters im "Knopf" des Schiebereglers angezeigt.
Im unteren linken Unterfenster:
Für Werte des Variationsparameters bis Null ändert sich das grüne Diagramm schneller, und für Werte des Variationsparameters größer als Null ändert sich das rote Diagramm schneller. Der Punkt, an dem sich die beiden mit der gleichen Geschwindigkeit ändern, ist, wenn der Variationsparameter Null ist.
Dieser Unterschied in Reaktion auf Variation der Trajektorie wird durch Nehmen des Integrals sichtbar gemacht. Wie wir wissen: Integration hat die folgende Eigenschaft: Wenn Sie ein Diagramm und das Integral dieses Diagramms haben, ändert sich der Wert des Integrals proportional , wenn sich die Steigung des Diagramms ändert .
Dies erklärt, warum die Lagrange ($T - V$) hat das Minuszeichen.
Die Lagrange-Mechanik verwendet die Energiegleichung (1), um die Flugbahn mit der Eigenschaft zu finden, dass die Änderungsrate der kinetischen Energie mit der Änderungsrate der potentiellen Energie übereinstimmt .
Diese Antwort ist eine verkürzte Version einer früheren, längeren Version (unter Verwendung derselben 7-Frame-Animation).
Die heuristische Erklärung von OP (v3) enthält die richtigen physikalischen Bestandteile sowohl dynamischer als auch kinematischer Natur, obwohl das wichtige relative Minuszeichen dazwischen liegt $T$ und $V$ in der Lagrange $L=T-V$könnte vorzugsweise eine weitere Aufklärung gebrauchen. Einen mathematischen Beweis finden Sie beispielsweise in diesem verwandten Phys.SE-Beitrag.