Details in Mollifiers Proof - Evans 'PDE

Question

Ich habe Evans 'PDE-Buch gelesen, bin aber auf den Beweis des folgenden Satzes gestoßen (Screenshot hier) :

Satz 7 (Eigenschaften von Weichtieren).

(ich) $f^{\epsilon} \in C^{\infty}\left(U_{\epsilon}\right)$.

(ii) $f^{\epsilon} \rightarrow f$ ae as $\epsilon \rightarrow 0$.

(iii) Wenn $f \in C(U),$ dann $f^{\epsilon} \rightarrow f$ gleichmäßig auf kompakten Teilmengen von $U$.

(iv) Wenn $1 \leq p<\infty$ und $f \in L_{\text {loc }}^{p}(U),$ dann $f^{\epsilon} \rightarrow f$ im $L_{\text {loc }}^{p}(U)$

Und das ist Teil des Beweises (Screenshot hier) :

1. Nehmen wir jetzt an $f \in C(U)$. Gegeben$V \subset \subset U$, wir wählen $V \subset \subset W \subset \subset U$ und beachte das $f$ ist gleichmäßig durchgehend auf $W .$ Somit gilt die Grenze (4) einheitlich für $x \in V .$ Folglich impliziert die obige Berechnung $f^{\epsilon} \rightarrow f$ gleichmäßig auf $V$.

Der Beweis selbst ist ziemlich klar, aber das Stück, dem ich nicht ganz folge, ist, wie er wählt $W$Befriedigung dieser besonderen Eigenschaft. Ich habe versucht, Kompaktheit von zu verwenden$\overline{V}$ und Offenheit von $U$aber ich verstehe es immer noch nicht. Etwas Hilfe wäre dankbar.

Answer 1

$A\subset\subset B$ ist gelesen "$A$ ist kompakt enthalten in $B$", manchmal auch geschrieben mit \Subset$\Subset$. Nach Evans (2. Aufl., S. 698) bedeutet dies, dass für offene Mengen$A,B$, wir haben $A\subset \overline A\subset B$ und das $\overline A$ ist kompakt:

(vi) $U, V,$ und $W$ bezeichnen normalerweise offene Teilmengen von $\mathbb{R}^{n} .$ Wir schreiben $$ V \subset \subset U $$ wenn $V \subset \bar{V} \subset U$ und $\bar{V}$ ist kompakt und sagen $V$ ist kompakt enthalten in $U$.

Wie $V\Subset U \subset \mathbb R^n$, speziell $\overline V\subset U$. Ich glaube$U$ist (wie oben) implizit eine offene Menge; so$d(\overline V,U^c) \in (0,\infty]$. einstellen$l = \min(1,d(\overline V,U^c))\in(0,1]$.

Für jeden $x\in \overline V$, Lassen $B_x := \mathbb B(x,l/2) $ sei die offene Kugel mit dem Radius $l/2$ um $x$. Deutlich$\{B_x\}_{x\in \overline V}$ ist ein Cover von $\overline V$Durch Kompaktheit gibt es also eine endliche Anzahl von ihnen, $B_1,\dots,B_N$ diese Abdeckung $\overline V$. Jetzt können wir nehmen$W:= B_1\cup \dots\cup B_N$. Seit jeder$\overline{B_i}$ ist eine Teilmenge von $U$ (Es gibt keine Kreuzung mit $U^c$), $\overline W\subset U$. $\overline W$ist eine endliche Vereinigung von geschlossenen und begrenzten Kugeln; daher ist es geschlossen und begrenzt$\mathbb R^n$und damit kompakt. Zusammenfassung: Wir haben eine zweite offene Teilmenge erstellt$W$ von $U$ so dass $V\Subset W \Subset U$. Wir haben in normaler Teilmengenschreibweise geschrieben$$ V\subset \overline V \subset W \subset \overline W \subset U.$$

Die Tatsache, dass $\overline W$ ist kompakt impliziert sofort die gleichmäßige Kontinuität von $f$ auf $\overline W$und damit weiter $W$.

Sie könnten fragen, warum wir brauchten $W$ in erster Linie seit $V$ist bereits vorkompakt; Die Antwort ist, dass wir etwas Platz brauchen, um eine Funktion zu beruhigen und zu definieren$V$, für alle $\epsilon$ ausreichend klein.