Determinante einer bestimmten Toeplitz-Matrix
Berechnen Sie die folgende Determinante
\ begin {vmatrix} x & 1 & 2 & 3 & \ cdots & n-1 & n \\ 1 & x & 1 & 2 & \ cdots & n-2 & n-1 \\ 2 & 1 & x & 1 & \ cdots & n-3 & n-2 \\ 3 & 2 & 1 & x & \ cdots & n-4 & n-3 \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \ cdots & x & 1 \\ n & n-1 & n-2 & n-3 & \ cdots & 1 & x \ end {vmatrix}
Ich habe folgendes versucht. Ich subtrahierte die zweite Reihe von der ersten, die dritte von der zweiten, die vierte von der dritten und so weiter. Ich habe:
\ begin {vmatrix} x-1 & 1-x & 1 & 1 & \ cdots & 1 & 1 \\ -1 & x-1 & 1-x & 1 & \ cdots & 1 & 1 \\ -1 & - 1 & x-1 & 1-x & \ cdots & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & x-1 & \ cdots & 1 & 1 \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ -1 & -1 & -1 & -1 & \ cdots & x-1 & 1-x \\ n & n-1 & n-2 & n-3 & \ cdots & 1 & x \ end {vmatrix}
Ich habe das gleiche mit den Säulen gemacht. Ich subtrahierte die zweite Reihe von der ersten, die dritte von der zweiten, die vierte von der dritten und so weiter. Und ich habe:
\ begin {vmatrix} 2x-2 & -x & 0 & 0 & \ cdots & 0 & 1 \\ -x & 2x-2 & -x & 0 & \ cdots & 0 & 1 \\ 0 & -x & 2x -2 & -x & \ cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -x & 2x-2 & \ cdots & 0 & 1 \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & 2x-2 & 1-x \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \ cdots & 1-x & x \ end {vmatrix}
Ich hoffe, ich habe irgendwo keinen Fehler gemacht. Mit diesem Teil weiß ich nicht, was ich als nächstes tun soll. Ich weiß nicht, ob ich es richtig mache. Vielen Dank im Voraus !
Antworten
Lassen $A_{n+1}$ bezeichnen die Determinante der $(n+1)\times (n+1)$Matrix in der Frage. Durch die Laplace-Erweiterung in der ersten Reihe erhalten wir:$$A_{n+1} = (2x-2)A_n + xB_n + (-1)^nC_n,$$ wo $$B_n := \det \begin{bmatrix} -x & -x & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 2x-2 & -x & \cdots & 0 & 1\\ 0 & -x & 2x-2 & \cdots & 0 & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2x-2 & 1-x\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1-x &x \end{bmatrix} $$ und $$C_n := \det\begin{bmatrix} -x & 2x-2 & -x & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -x & 2x-2 & -x & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -x & 2x-2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 2x-2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1-x \end{bmatrix} $$ Beides erweitern $B_n$ und $C_n$ über die erste Spalte bekommen wir $$B_n = (-x) A_{n-1} + (-1)^{n+1}C_{n-1}$$ und $$C_n = (-x)C_{n-1} + (-1)^{n+1} D_{n-1},$$ wo $D_n$ ist die Determinante des Folgenden $n\times n$Toeplitz tridiagonale Matrix : \ begin {bmatrix} 2x-2 & -x & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ -x & 2x-2 & -x & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & -x & 2x -2 & -x & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & -x & 2x-2 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & 2x-2 \ end {bmatrix} Es wird in Form der Lucas-Sequenz und ihrer Erzeugungsfunktion wie folgt ausgedrückt : \ begin {split} D_n & = U_ {n + 1} (2x-2) , x ^ 2) \\ & = \ frac {(x-1 + \ sqrt {1-2x}) ^ {n + 1} - (x-1- \ sqrt {1-2x}) ^ {n + 1 }} {2 \ sqrt {1-2x}} \\ & = [z ^ n] \ \ frac {1} {1- (2x-2) z + x ^ 2z ^ 2}. \ end {split}
Einstecken der Wiederholungsformel für $B_n$ in das für $A_{n+1}$, wir bekommen $$(\star)\qquad A_{n+1} = (2x-2)A_n - x^2 A_{n-1} + (-1)^{n+1}xC_{n-1} + (-1)^n C_n.$$
Wir haben jetzt alle Zutaten, für die wir einen Ausdruck in geschlossener Form ableiten können $A_n$.
Unter Berücksichtigung $C_1=1-x$, rollen wir die Wiederholung für $C_n$um zu erhalten: \ begin {split} C_n & = (-x) ^ {n-1} (1-x) + (- 1) ^ {n + 1} \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} x ^ {n-1-i} D_i \\ & = (-x) ^ n + (- 1) ^ {n + 1} [z ^ {n-1}] \ \ frac {1} {(1-xz ) (1- (2x-2) z + x ^ 2z ^ 2)}. \ end {split} Wir benötigen die Generierungsfunktion: \ begin {split} \ mathcal {C} (z) &: = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ {n-1} C_n z ^ {n-1} \\ & = \ frac {1} {(1-xz) (1- (2x-2) z + x ^ 2z ^ 2)} - \ frac {x} {1-xz } \\ & = \ frac {1-x + (2x-2) xz-x ^ 3z ^ 2} {(1-xz) (1- (2x-2) z + x ^ 2z ^ 2)}. \ end {split}
Definieren Sie die Generierungsfunktion für $A_n$:: $$\mathcal{A}(z) := \sum_{n=1}^{\infty} A_n z^n.$$
Multiplizieren wir nun die Wiederholung $(\star)$ durch $z^{n-1}$ und Summe über $n\geq 2$ erhalten: $$\frac{\mathcal{A}(z) - A_1z - A_2z^2}{z^2} = (2x-2)\frac{\mathcal{A}(z) - A_1z}z - x^2\mathcal{A}(z) - xz\mathcal{C}(z) - (\mathcal{C}(z)-C_1),$$ implizieren das $$\mathcal{A}(z) = \frac{z(x^5z^4-4x^4z^3+4x^3z^3+6x^3z^2-8x^2z^2-4x^2z+3xz^2+4xz+x-z)}{(1-xz)(1-(2x-2)z+x^2z^2)^2}$$und somit \ begin {split} A_n & = \ frac12 D_n + \ frac {n + 1-x} 2 D_ {n-1} + \ frac {x ^ n} 2 \\ & = \ frac {(n + \ sqrt {1-2x}) (x-1 + \ sqrt {1-2x}) ^ n- (n- \ sqrt {1-2x}) (x-1- \ sqrt {1-2x}) ^ n} { 4 \ sqrt {1-2x}} + \ frac {x ^ n} 2. \ end {split}
AKTUALISIEREN. Ein anderer Weg, um von den Wiederholungen für auszugehen$A_n$, $B_n$, $C_n$, und $D_n$ besteht darin, sie zu einer einzigen Matrixwiederholung zu kombinieren: $$ \begin{bmatrix} A_{n+1}\\ B_{n+1}\\ (-1)^{n+1}C_{n+1}\\ D_{n+1} \\ D_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x-2 & x & 1 & 0 & 0\\ -x & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & x & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2x-2 & -x^2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A_{n}\\ B_{n}\\ (-1)^{n}C_{n}\\ D_{n} \\ D_{n-1}\end{bmatrix}. $$ Aus dem charakteristischen Polynom der Matrix in rhs erhalten wir eine Wiederholung für $A_n$:: $$A_n = (5x - 4)A_{n-1} + (-10x^2 + 12x - 4)A_{n-2} + (10x^3 - 12x^2 + 4x)A_{n-3} + (-5x^4 + 4x^3)A_{n-4} + x^5A_{n-5},$$ woraus es leicht ist, eine explizite Formel zu erhalten.
PS. Bis zum Wechsel von$x$ zu $-x$, $A_n$repräsentiert das charakteristische Polynom der Distanzmatrix, auch als Distanzpolynom bekannt , des Pfadgraphen$P_n$. Eine andere Formel (in Bezug auf Chebyshev-Polynome) dafür ist in OEIS A203993 angegeben .