Dichte von Borel auf 0 gesetzt

Question

Der Lebesgue-Dichtesatz besagt, dass wenn $E$ ist eine messbare Lebesgue-Menge, dann die Dichte von $E$ bei fast jedem Element von $E$ ist 1 und die Dichte von $E$ bei fast jedem Element nicht in $E$ ist 0.

Ist es jedoch wahr, dass für jeden $t$ Streng zwischen 0 und 1 gibt es einen Borel-Satz $E$ das hat Dichte $t$ bei 0?

Ich habe keine Ahnung, wie man eine solche Menge für einen zufälligen Wert von konstruiert $t$. Jede Hilfe wäre dankbar.

Answer 1

Ja. In der Dimension$\geq 2$ Das ist trivial, also gehe ich davon aus, dass wir die reale Linie betrachten.

Gegeben ein $n>0$ und $\alpha\in [0,1]$, stellen $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ und $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$.

Stellen $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$. Dann ist die Dichte von$U_{n,\alpha}$ beim $0$ ist genau $\alpha$. Um dies zu sehen, schreiben Sie$m_r$ zum $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ und beachten Sie, dass:

• wenn $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$, dann $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• wenn $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$, dann $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
• $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$.

Answer 2

Hinweis: Lassen Sie $I_n=(1/(n+1),1/n).$ Lassen $L_n$ sei die Länge von $I_n.$ Aus $I_n$ Wir wählen ein Subintervall

$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$

$J_n$ ist ein "$t$-biss "von $I_n.$ einstellen $E=\cup J_n.$ Wenn ich über dieses Recht nachdenke, werden wir haben

$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$

Answer 3

Betrachten Sie eine Folge von Zahlen $r_n \searrow 0$ so dass $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$. Lassen$\theta$ eine Maßnahme sein, die die Karte bewahrt $(0,r_1]$ zu $\mathbb R^2$ das macht $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ zu $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$. Dann lass$A$ ein "Stück Kuchen" sein, das am Ursprung in zentriert ist $\mathbb R^2$mit Winkel $\alpha$an der Ecke. Dann$\theta^{-1}(A)$ wird ein Satz mit Dichte sein $\alpha/(4\pi)$ beim $0$.

Dies ergibt Dichten $0 \le t \le \frac12$. Zu bekommen$\frac12 < t \le 1$einfach hinzufügen $(-\infty,0]$.