Dichteoperatoren und spektrale Zerlegung

Question

Es gibt zwei Fragen, auf die ich neugierig bin, und beide können unglaublich dumm sein. Ich konnte mich einfach nicht anders überzeugen.

Wir wissen, dass ein Dichteoperator $\rho_E$ hat die Form $\rho_E = \sum_j \rho_j |x_i\rangle\langle x_i|$ wo $\text{Tr}(\rho_E) = \sum_j \rho_j = 1$. Schon seit$\rho_E$ ist auch normal, es muss eine spektrale Zerlegung haben $\rho_E = \sum_i \lambda_i\Pi_i$ wo $\Pi_i$ sind Projektionen in den Eigenraum zugeordnet $\lambda_i$.

Ist es nun so, dass diese beiden Zerlegungen gleich sind? Bedeutung$\lambda_i = \rho_i$ und $|x_i\rangle\langle x_i| = \Pi_i$?

Wenn ja, gibt es eine gute Erklärung dafür $|x_i\rangle\langle x_i|$ist eigentlich eine Projektion in den Eigenraum? Nehmen wir also an, wir haben eine lineare Karte$M: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ mit beispielsweise Eigenvektor $v = (2,1)^T$. Wille$(2,1)^T \cdot (2,1) = |v\rangle\langle v|$ tatsächlich eine Projektion auf die Eigensapce sein, die mit verbunden ist $v$?

Answer 1

Mit der Notation "ket-bra" $|u\rangle\!\langle v|$ wir meinen den linearen Operator $x\mapsto |u\rangle\langle v|x\rangle$, wo $\langle v|x\rangle$ ist das innere Produkt zwischen den Vektoren $|x\rangle$ und $|v\rangle$. In der mathematischeren Standardnotation könnte dies mit bezeichnet werden$uv^*$, Hier $v^*$ ist das Dual von $v$.

Deswegen, $|v\rangle\!\langle v|$für jeden Einheitsvektor $|v\rangle$ (was normalerweise der Fall ist, wenn man die Ket-Notation verwendet) ist ein Trace-1-Projektor, der trivial auf den eindimensionalen Raum projiziert, der von überspannt wird $|v\rangle$.