Die Ableitung des Einheitsgeschwindigkeitsvektors

Question

Die Einrichtung:

Ein Zwischenrahmen YX, der verwendet wird, um die Flugbahn eines Insekts auf einem starren Körper unter Verwendung einiger relativer Vektoren zu beschreiben. Symbole:$ \vec{r_a}$ ist der Vektor, der den Ursprung mit einem Punkt auf dem starren Körper verbindet, $ \vec{r_b} $ ist der Vektor, der den Ursprung mit dem Insekt verbindet und $ \vec{r } $ist der Vektor, der die Referenz mit dem Insekt verbindet. Die Beziehung zwischen Vektoren:

$$ \vec{r_b} = \vec{r_a} + \vec{r } $$

In einer Videovorlesung über die Kraft der Krone von Professor MSSivakumar bekomme ich um 19:12 Uhr keine Formel, die verwendet wird:

$$ |v_{rel} | \frac{ d \hat v_{rel} }{dt} = \vec{\omega} \times \vec{v_{rel}} $$

Mit,

$$ v_{rel} = \frac{ d|r| }{dt} \hat{r}$$

Wo $ \hat{r} $ ist ein Einheitsvektor, der die Referenz mit dem Insekt verbindet $|r|$ ist die Länge des gesamten Vektors, der die Referenz mit dem Insekt verbindet.

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In einem früheren Beitrag hatte ich mir erklären lassen, dass die Beziehung über die zeitliche Geschwindigkeitsänderung der Basis durch die Gleichung mit der Winkelgeschwindigkeit zusammenhängt $ \frac{d}{dt} \hat{u} = \omega \times \hat{u}$. Ich verstehe jedoch nicht, wie sich diese Idee auf diesen Fall erstreckt, da wir seitdem über die Basis der Geschwindigkeit sprechen$ \omega$ was ursprünglich verwendet wurde, betraf die Winkeländerung der Positionsvektoren.

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Verweise:

Vorheriger Stapelbeitrag

Vorlesungsreihe zur Festkörpermechanik von Prof.MSSivakumar, Abteilung Angewandte Mechanik, IITMadras.

Answer 1

Schon seit $\vec v_{rel}$ ist ein skalares Vielfaches von $\vec r$ wir haben $\hat v_{rel} = \hat r$, so

$\displaystyle \frac {d \hat v_{rel}}{dt} = \frac {d \hat r}{dt} = \vec \omega \times \hat r \\ \displaystyle \Rightarrow |\vec v_{rel}| \frac {d \hat v_{rel}}{dt} = |\vec v_{rel}| ( \vec \omega \times \hat r ) = \vec \omega \times (|\vec v_{rel}| \hat r) = \vec \omega \times \vec v_{rel}$

Answer 2

Schon seit $\hat{v}_{rel}$ ist ein Einheitsvektor $\dot{\hat{v}}_{rel} = \vec{\omega} \times \hat{v}_{rel}$. Multiplizieren mit$|\vec{v}_{rel}|$ auf beiden Seiten gibt Ihnen diese Gleichung.

Answer 3

Wenn ein rotierender (konstanter) Vektor in Größe und Richtung zerlegt wird $\vec{\rm vec} = v\, \hat{e} $ und die Ableitung eines Einheitsvektors ist $\dot{\hat{e}} = \vec{\omega} \times \hat{e}$, dann multiplizieren Sie beide Seiten mit $v$

$$ \frac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{\rm vec} = v \frac{\rm d}{{\rm d}t} \hat{e} = v \left( \vec{\omega} \times \hat{e} \right) = \vec{\omega} \times \vec{\rm vec}$$