Die Genauigkeit einer Sequenz in der Kummer-Theorie verstehen

Question

Hier sind die Voraussetzungen und die Teile, die mir Probleme bereiten (entnommen aus Milnes Feldern und der Galois-Theorie ):

Insbesondere verstehe ich die Genauigkeit bei nicht ganz $H^1(G,\mu_n)$ und was es mit Hilbert 90 zu tun hat (wie im Text erwähnt).

Wenn ich die zugrunde liegenden Karten richtig verstanden habe, die Karte $F^\times \cap E^{\times n} \to H^1(G,\mu_n)$ ordnet ein Element zu $z \in F^\times \cap E^{\times n}$ zum gekreuzten Homomorphismus $f_z: G \to \mu_n$, $\sigma \mapsto \frac{\sigma(c)}{c}$ für eine beliebige $c \in E^\times$ mit $z = c^n$ (Man kann zeigen, dass die Karten nicht von der Wahl abhängen $c$).

Das können wir hier sehen $f_z$ ist ein prinzipiell gekreuzter Homomorphismus, also das Bild von $F^\times \cap E^{\times n} \to H^1(G,\mu_n)$ist trivial. Dies scheint jedoch der Genauigkeit zu widersprechen, da der Kernel von$H^1(G,\mu_n) \to 1$ ist offensichtlich $H^1(G,\mu_n)$ das ist nicht trivial.

Und dann sehe ich immer noch nicht, was das alles mit Hilbert 90 zu tun hat. Hilbert 90 sagt das, wenn die Norm eines Elements $\alpha \in E$ ist $1$, dann gibt es eine $\beta \in E$ so dass $\alpha = \beta/\sigma(\beta)$ (wo $\sigma$ ist ein Generator der Galois-Gruppe von $E/F$).

Könnten Sie bitte Missverständnisse lösen, die ich hier habe? Vielen Dank!

Answer 1

Hilbert 90 hat zwei gebräuchliche Formulierungen - eine ist die Form, die Sie zitieren (wo sie nur gültig ist, wenn $E/F$ ist übrigens eine zyklische Erweiterung), und der andere sagt $H^1(\text{Gal}(E/F), E^\times) = 0$ (irgendein $E/F$ Galois - dies kann durch eine explizite Beschreibung der Kohomologie zyklischer Gruppen in Ihr zyklisches Beispiel übersetzt werden.

Wenn wir nun Ihre kurze exakte Sequenz nehmen, erhalten wir eine lange exakte Sequenz in der Kohomologie. Das nächste Semester danach$H^1(G, \mu_n)$ ist $H^1(G, E^\times)$, die von Hilbert 90 verschwindet.