Die Isometrien binden lokal Lipschitz ein

Question

James Munkres gibt im Text "Analysis on Manifolds" die folgende Definition.

Definition

Lassen $h:\Bbb R^n\rightarrow\Bbb R^n$. Das sagen wir$h$ ist eine (euklidische) Isometrie, wenn $$ ||h(x)-h(y)||=||x-y|| $$ für alle $x,y\in\Bbb R^n$. Eine Isometrie ist also eine Karte, die euklidische Abstände beibehält.

Deshalb frage ich mich, ob es möglich ist, die obige Definition auf allgemeine metrische Räume zu verallgemeinern und die folgende Definition auf Wikipedia zu finden.

Definition

Wenn $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ Sind mterische Räume dann eine Funktion $f:X\rightarrow Y$ heißt Isometrie wenn $$ d_Y\big(f(x),f(y)\big)=d_X\big(x,y\big) $$ für jeden $x,y\in X$.

Also frage ich mich schließlich, ob die folgende Aussage wahr ist.

Erklärung

Lassen $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$zwei metrische Räume. Also die Isometrien von$X$ zu $Y$ lokal einbetten lipschitz von $X$ im $Y$.

Leider kann ich die letzte Aussage nicht beweisen, deshalb bitte ich darum. Könnte mir bitte jemand helfen?

Answer 1

Lemma

Lassen $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$zwei metrische Räume. Also die Isometrien von$X$ zu $Y$ lokal einbetten lipschitz von $X$ im $Y$.

Beweis . Mit dieser Definition sind die Isometrien also eindeutig injizierende Funktionen: infact$x$ und $y$ sind zwei verschiedene Punkte von $X$ dann und nur dann, wenn $d_X(x,y)\neq 0$ und so genau dann, wenn $d_Y\big(f(x),f(y)\big)\neq 0$ und so genau dann, wenn $f(x)$ und $f(y)$ sind zwei verschiedene Punkte von $Y$. Also wenn$Z:=f[X]$ dann können wir eine Umkehrfunktion definieren $g:Z\rightarrow X$ durch die Bedingung $$ g(z):=f^{-1}(z) $$ für jeden $z\in Z$ und wenn ja $x,y\in Z$ sind so, dass $g(x)=g(y)$ dann durch die Injektivität von $f$ es ist $x=y$ damit $g$ ist auch injektiv und außerdem $(g\circ f)=\text{Id}$. Darüber hinaus sind die Isometire zusammenhängende Funktionen: infact if$d_X(x,y)<\epsilon$ dann klar $$ d_Y\big(f(x),f(y)\big)<\epsilon $$ für eine beliebige $\epsilon>0$. Schließlich ist die Umkehrfunktion einer Isometrie auch eine Isometrie: in der Tat$$ d_Y(x,y)=d_Y\Big(f\big(f^{-1}(x)\big),f\big(f^{-1}(y)\big)\Big)=d_X\big(f^{-1}(x),f^{-1}(y)\big)=d_X\big(g(x),g(y)\big) $$ für jeden $x,y\in Z$ damit $g$ist auch kontinuierlich. Wir schließen daraus, dass eine Isometrie eine Einbettung ist. Schließlich per Definition der Isometrie$$ \frac{d_Y\big(f(x),f(y)\big)}{d_X(x,y)}=1 $$ für jeden $x,y\in X$ so dass eine Isometrie global lipschitz ist und so lokal lipshitz auch.