Die Probleme des Feynman Path Integral verstehen

Question

Nehmen wir an, wir leben auf Euklidisch $\mathbb{R}^d$ und betrachten Sie die normalisierte Partitionsfunktion

\ begin {Gleichung} \begin{aligned} Z : D &\to \mathbb{R} \\ J &\mapsto \frac{\int \exp \left[ -S \left( \psi \right) + \left \langle J, \psi \right \rangle\right] \mathcal{D} \psi}{\int \exp \left[ -S \left( \psi \right) \right] \mathcal{D} \psi} \end{aligned} \ end {Gleichung}

wo $D$ wird als Raum für Testfunktionen angesehen $\mathbb{R}^d$, $\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle$ ist der Standard $L^2$ inneres Produkt und $S : D \to \mathbb{R}$ bezeichnet eine geeignete klassische Aktion.

Einige naive Ideen, um die obigen Ausdrücke zu verstehen, könnten sein:

• (M1) Aus mathematischer Sicht gibt es kein Lebesgue-ähnliches Maß für unendlich dimensionale Vektorräume. Aus meinem (völlig unzureichenden) Verständnis der Wiener Maßnahme ergibt sich jedoch eine vollkommen feine Gaußsche Maßnahme$\mu$ (auf einem größeren Raum als $D$) so, dass in den meisten relevanten Fällen $\exp \left[ - S \left( \psi \right) \right] \mathcal{D} \psi := \exp \left[ - S_{\mathrm{int}} \left( \psi \right) \right] \mathcal{D} \mu\left( \psi \right)$ wo die rechte Seite jetzt gut definiert ist.
• (M2) Man kann Hilbert-Raumvervollständigungen betrachten $H$ von $D$ in Bezug auf ein inneres Produkt und definieren Sie den obigen Quotienten als eine Grenze von Integrationen über endliche dimensionale Erschöpfungen von $H$ das liegt vorzugsweise innerhalb $D$.

Aber irgendwie werden solche Integrale weithin als mathematisch schlecht definiert angesehen. Was genau geht schief? Einige meiner Ideen sind:

• (P1) Es gibt keine eindeutige Möglichkeit zum Einbetten $D$ in einen größeren Raum, auf dem das Wiener Maß definiert werden könnte
• (P2) Der Zähler / Nenner im obigen Ausdruck ist unendlich, wenn er als Lebesgue-Integrale in Bezug auf das Wiener-Maß betrachtet wird, und die Verwendung des Quotienten erfordert eine nicht eindeutige Wahl der Grenze.
• (P3) Die Approximation durch endlichdimensionale Integrale hängt von der Wahl der erschöpfenden Teilräume ab
• (P4) Die Approximation durch endlichdimensionale Integrale hängt von der Wahl des inneren Produkts ab $D$
• (P5) Der Quotient in der Definition von $Z$ hängt davon ab, wie die Grenzen erschöpfender Teilräume genommen werden, dh in Analogie zu $\lim_{n \to \infty} \int_{-n}^n \sin \left( n \pi x \right) \mathrm{d} x \neq \lim_{n \to \infty} \int_{-2n}^{2n + 1} \sin \left( n \pi x \right) \mathrm{d} x$.

Answer 1

Ich habe mir erlaubt, einige Bezeichnungen (M1), (M2) für die beiden vorgeschlagenen Methoden zum Verstehen des Integrals sowie (P1) - (P5) für die Liste der möglicherweise auftretenden Probleme zu verwenden. Dadurch kann ich auf bestimmte Punkte in der Frage verweisen.

Wenn man ersetzt $J$ durch $iJ$ mit $J$ Realwertig dann das Funktionale $Z$ist die charakteristische Funktion des Wahrscheinlichkeitsmaßes (im Rahmen der Lebesgue-Integrationstheorie), die man genau definieren möchte. Der bequemste Platz$D$ für die Testfunktionen $J$ ist Schwartz Raum $\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$. In diesem Fall ist der Raum, in dem das gewünschte Wahrscheinlichkeitsmaß leben würde, der duale Raum$\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ von gemäßigten Schwartz-Verteilungen.

Über (M1): Dies funktioniert nicht. Vermeiden Sie auch die falsche (und fehleranfällige) Terminologie von "Wiener Maßnahme". Letzteres ist ungefähr$d=1$ wo die Maßnahme $\mu$ wird auf einem Raum kontinuierlicher Funktionen unterstützt und bei Multiplikation mit dem Radon-Nikodym-Gewicht $\exp(-S_{\rm int}(\psi))$macht Sinn, zumindest in endlichem Volumen. Zum$d\ge 2$, die Maßnahme $\mu$, gesehen als Wahrscheinlichkeitsgesetz für eine zufällige Verteilung $\psi$ist so, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 die Menge $S_{\rm int}(\psi)$ macht keinen Sinn, zB weil es Begriffe wie enthält $\psi(x)^4$. In diesem Sinne ist (M1) keine Lösung für das Problem. Man kann diesen Versuch jedoch korrigieren, indem man einen Fourier-Cutoff einführt und damit modifiziert$\mu$. Dies ergibt eine ähnliche Situation wie (M2), in der eine genau definierte Abfolge von Maßnahmen vorliegt$\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ Indiziert durch die Grenzwerte (Frequenz und Lautstärke) stellt sich die Frage: Konvergiert diese Sequenz in einer geeigneten Topologie im Raum der Wahrscheinlichkeitsmessungen auf $\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$. Die natürlichste Topologie ist hier die schwache Konvergenz, die punktweise (in$J$) Konvergenz der entsprechenden Funktionale $Z$. Dieselbe Frage der Konvergenz der Folge von Approximationen (unter Verwendung endlich vieler Gitterpunkte) ist die Hauptfrage, die mit der Methode (M2) behandelt werden muss.

Es ist lehrreich, (M2) auch für die Konstruktion des massiven freien Feldes, dh der Maßnahme, im Detail zu tun $\mu$. Dies erfolgt in den beiden MathOverflow-Posts

https://mathoverflow.net/questions/362040/reformulation-construction-of-thermodynamic-limit-for-gff?rq=1

https://mathoverflow.net/questions/364470/a-set-of-questions-on-continuous-gaussian-free-fields-gff

Was kann schief gehen: Lassen Sie mich nun die auftretenden Probleme betrachten und (P1) - (P5) diskutieren. Letzteres als Liste potenzieller Probleme vorzuschlagen, bedeutet in der Tat, den Karren vor das Pferd zu stellen, da dies stillschweigend voraussetzt, dass das Vorhandensein einer Grenze oder eines Ergebnisses der Methode (M1) oder (M2) unproblematisch ist und alles, was man tun muss Sie sorgen sich um die Einzigartigkeit dieses Ergebnisses. Das Hauptproblem, das auftreten kann, besteht darin, dass es möglicherweise keine Begrenzung gibt, selbst wenn man sich auf eine Teilsequenz beschränkt (Verlust der Dichtheit oder Wahrscheinlichkeitsmasse, die ins Unendliche entweicht). Das andere Problem ist, dass die erhaltene Grenze Gaußsch sein kann, dh nicht interessant. Sehen

https://mathoverflow.net/questions/260854/a-roadmap-to-hairers-theory-for-taming-infinities/260941#260941

Um mehr darüber zu erfahren, aber um es kurz zu machen, muss man sich mehr Flexibilität geben, indem man zulässt, dass die Kupplungen vom Cutoff abhängen, um interessante Grenzen zu erreichen. Wie das geht, hängt von einer Renormierungsgruppenanalyse ab. Sehen

Was ist die Wilsonsche Definition von Renormalisierbarkeit?

Schließlich wurde erwartet, dass das Limit, wenn es existiert, eindeutig ist, dh unabhängig von den willkürlichen Entscheidungen beim Einrichten der Approximationssequenz, aber nur wenige Ergebnisse dieses Typs wurden rigoros ermittelt. Für die$\phi_3^4$ Modell, eine neuere Konstruktion ist in dem Artikel von Gubinelli und Hofmanová https://arxiv.org/abs/1810.01700