Die Spur eines Systems explizit finden

Question

Bedenken Sie, dass wir mit einem gemeinsamen System arbeiten, das aus System A mit Basis besteht $|\alpha_j\rangle$ und System B mit Basis $|\beta_j\rangle$.

In meinen Notizen wird der Dichteoperator wie folgt bezeichnet:

$$\space\space\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$

wobei meine Notizen das besagen $$ \rho_{jklm} = \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle $$

Sie geben auch die folgenden Gleichungen für die Spur von A und die Spur von B an: $$\rho_\beta = Tr_\alpha(\rho) = \sum_{l,m}(\sum_{j} \rho_{j,l,j,m}) |\beta_l\rangle \langle\beta_m| $$

$$\rho_\alpha = Tr_\beta(\rho) = \sum_{j,k}(\sum_{l} \rho_{j,l,k,l}) |\alpha_j\rangle \langle\alpha_k| $$

Meine Hauptfrage ist, wie man schreiben würde $\rho_{j,l,k,l}$ und $\rho_{j,l,j,m}$ Ausdrücklich, da das, was ich bekomme, nicht mit einem Beispiel in meinem Buch übereinstimmt, bin ich ziemlich verwirrt.

Vielen Dank

Answer 1

Nun, wenn ich es selbst machen würde, würde ich es wie folgt schreiben: $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle $ Ich bin mir jedoch nicht sicher, da die Beispiele, die ich gesehen habe, Folgendes nahe legen $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle $.

Es scheint, dass Sie die Idee eines Tensorprodukts von Staaten falsch verstehen, also werde ich das kurz überprüfen. Lassen$\mathcal H_A$ und $\mathcal H_B$ Hilbert-Räume sein und lassen $\alpha \in \mathcal H_A$ und $\beta \in \mathcal H_B$. Das Tensorprodukt von$\alpha$ und $\beta$ ist das bestellte Paar $(\alpha,\beta)$ welches die folgenden Eigenschaften hat:

• $(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ für alle $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
• $(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ für alle $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
• $\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ für alle $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$

Anstatt zu schreiben $(\alpha,\beta)$ Für das Tensorprodukt ist es Standardnotation zu schreiben $\alpha \otimes \beta$.

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Das Tensorprodukt von Hilbert-Räumen $\mathcal H_A$ und $\mathcal H_B$ ist der Raum aller Tensorprodukte der Form $\alpha\otimes \beta$ mit $\alpha\in\mathcal H_A$ und $\beta \in \mathcal H_B$, Und alle linearen Kombinationen davon . Das innere Produkt in diesem Raum wird als sein angesehen

$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$

Daher ein Element $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ könnte aussehen wie

$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$

Aus der Definition geht hervor, dass $\alpha$ und $\gamma$ gehören $\mathcal H_A$ während $\beta$ und $\delta$ gehören $\mathcal H_B$. Wiederum gemäß Standardkonvention verwenden wir das Symbol wieder$\otimes$ und bezeichnen das Tensorprodukt von Hilbert-Räumen mit $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$.

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Wenn Sie mit Dirac-Notation arbeiten möchten, können Sie so etwas schreiben $|\psi\rangle = |\alpha\rangle \otimes |\beta \rangle$. Der entsprechende BH wäre$\langle \psi| = \langle \alpha| \otimes \langle \beta |$. Wenn wir lassen$|\phi\rangle = |\gamma\rangle \otimes |\delta \rangle$, dann

$$\langle \psi|\phi\rangle = \bigg(\langle \alpha| \otimes \langle \beta|\bigg) \bigg( |\gamma \rangle \otimes |\delta \rangle\bigg) = \langle \alpha|\gamma\rangle \cdot \langle \beta|\delta\rangle$$

Die Konvention ist, dass unabhängig davon, ob es sich um einen BH oder einen Ket handelt, die erste Menge im Tensorprodukt dazu gehört $\mathcal H_A$ (oder sein dualer Raum) und der zweite gehört dazu $\mathcal H_B$ (oder sein doppelter Raum).

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Mit all dem, was gesagt wird, dein Ausdruck

$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$

macht für mich keinen Sinn, weil das Tensorprodukt Ket auf der rechten Seite in der falschen Reihenfolge ist.

Answer 2

Zuallererst sollte beachtet werden, wie Sie es verstehen $\rho_{ijk\ell}$ist in erster Linie eine Frage der Konvention. Einige Konventionen sind jedoch sicherlich "natürlicher" als andere.

Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, dass die Matrixkomponenten von $\rho$ in einem zusammengesetzten Raum $\mathcal H\equiv \mathcal X\otimes\mathcal Y$sind nichts als das: Matrixkomponenten in einem Raum. Wenn Sie die Indizes verwenden$I,J$ die Elemente einer Basis von zu kennzeichnen $\mathcal H$können Sie die Matrixkomponenten als schreiben $$\rho_{I,J}\equiv \langle I|\rho|J\rangle, \qquad |I\rangle,|J\rangle\in\mathcal H.$$ Diese Notation berücksichtigt jedoch nicht die zweigliedrige Struktur von $\mathcal H$. Dazu stellen wir fest, dass wir immer eine Basis finden können$\mathcal H$ das ist aus Basen von gebaut $\mathcal X$ und $\mathcal Y$. Wir können also die Basiselemente von kennzeichnen$\mathcal H$unter Verwendung von zwei Indizes, die die entsprechenden Basiselemente von bezeichnen$\mathcal X$ und $\mathcal Y$. Mit anderen Worten, wir können schreiben$$\mathcal H = \mathrm{span}(\{|i,j\rangle\equiv|i\rangle\otimes|j\rangle : \quad |i\rangle\in\mathcal X, \,\,|j\rangle\in\mathcal Y\}).$$ Dann anstelle eines Index $I$Wir verwenden beispielsweise ein Paar Indizes $(i,j)$. Die Matrixelemente von$\rho$ dann werde $$\rho_{(i,j),(k,\ell)} \equiv \langle i,j|\rho|k,\ell\rangle \equiv (\langle i|\otimes\langle j|)\rho(|k\rangle\otimes |\ell\rangle),$$Hier füge ich verschiedene äquivalente Methoden zum Schreiben des Ausdrucks hinzu. Beachten Sie, dass ich die Indizes "Eingabe" und "Ausgabe" von geschrieben habe$\rho$ mit Paaren $(i,j)$ und $(k,\ell)$hier, um die unterschiedlichen Rollen der Indizes hervorzuheben. Der Kürze halber tut man dies normalerweise nicht und schreibt einfach$\rho_{ijk\ell}$ meinen $\rho_{(i,j),(k,\ell)}$.

Jetzt können Sie sich auch für die Verwendung entscheiden $\rho_{ijk\ell}$ so etwas wie bedeuten $\langle \ell,j|\rho|k,i\rangle$. Das wäre allerdings eine ziemlich unangenehme Notation.