Doppelintegral mit Ableitung der Dirac-Delta-Funktion

Question

Betrachten Sie das Doppelintegral \ begin {Gleichung} I = \ int ^ \ infty _ {- \ infty} dx \ int ^ \ infty _ {- \ infty} dy f (x) \ left [\ frac {\ partiell} {\ partiell x } \ delta (xy) \ right] g (y) \ end {Gleichung} Ich bin mir nicht sicher, welche der beiden folgenden Berechnungsmethoden die richtige ist:

1. $I=\int^\infty_{-\infty}dx\int^\infty_{-\infty}dy f(x)\left[\frac{\partial}{\partial x}\delta(x-y)\right]g(y)=\int^\infty_{-\infty}dx\int^\infty_{-\infty}dy f(x)\frac{\partial}{\partial x}\left[\delta(x-y)g(y)\right]$ $=\int^\infty_{-\infty}dx f(x)\frac{\partial}{\partial x}\left[\int^\infty_{-\infty}dy\delta(x-y)g(y)\right]=\int^\infty_{-\infty}dx f(x)\frac{\partial}{\partial x}g(x)$.
2. Verwendung der Beziehung $\frac{\partial}{\partial x}\delta(x-y)=-\frac{\partial}{\partial y}\delta(x-y)$ und dann nach Teilen integrieren $I=\int^\infty_{-\infty}dxf(x)\int^\infty_{-\infty}dy \left[-\frac{\partial}{\partial y}\delta(x-y)\right]g(y)$ $=\int^\infty_{-\infty}dxf(x) \left[-\delta(x-y)g(y)\right]|^{y=\infty}_{y=-\infty}-\int^\infty_{-\infty}dxf(x)\int^\infty_{-\infty}dy \left[-\frac{\partial}{\partial y}g(y)\right]\delta(x-y)$ $= \left[-f(y)g(y)\right]|^{y=\infty}_{y=-\infty}+\int^\infty_{-\infty}dxf(x)\frac{\partial}{\partial x}g(x)$.

Wir sehen, dass Methode 2 im Vergleich zum Ergebnis von Methode 1 einen zusätzlichen Grenzterm ergibt.

Answer 1

Lassen Sie uns das Objekt im ursprünglichen Beitrag diskutieren, das mit gekennzeichnet ist

$$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x)\frac{\partial \delta(x-y)}{\partial x}g(y)\,dy\,dx\tag1$$

Wir sehen die Anwesenheit des Dirac-Deltas $\delta$erscheint in diesem Ausdruck. Das Dirac Delta ist jedoch keine Funktion. Es handelt sich vielmehr um eine verallgemeinerte Funktion , die auch als Verteilung bezeichnet wird .

Verteilungen sind lineare Funktionen , die Testfunktionen im Raum abbilden$C_C^\infty$(unendlich differenzierbare Funktionen mit kompakter Unterstützung) in Zahlen. Für das Dirac-Delta wird die funktionale Definition wie folgt angegeben

$$\langle \delta_a, f\rangle =f(a) $$

wo $f\in C_C^\infty$.

Nun die innere Integralschreibweise, in der Sie verwendet haben $(1)$ist nur Notation. Das durch dieses innere Integral bezeichnete Objekt ist die lineare Funktion

$$\underbrace{\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial \delta(x-y)}{\partial x}g(y)\,dy}_{\text{Notation only}}\equiv \frac{d}{dx}\langle \delta_x,g\rangle =g'(x)$$

wo $f\in C_C^\infty$ und $g\in C_C^\infty$. Deshalb finden wir das

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty f(x)\frac{d}{dx}\left(\langle \delta_x,g\rangle\right)\,dx&=\int_{-\infty}^\infty f(x)g'(x)\,dx\tag2 \end{align}$$

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ALTERNATIVE ABLEITUNG

Die Verteilungsableitung des Dirac-Deltas (das Einheitsdublett), bezeichnet $\delta_a'$,ist definiert als

$$\langle \delta_a,f\rangle=-\langle \delta_a,f'\rangle =-f'(a)$$

für jede Testfunktion $f\in C_C^\infty$.

Wir hätten das Objekt in interpretieren können $(1)$ meinen

$$\int_{-\infty}^\infty g(y) \langle \delta_y',f \rangle\,dy$$

für beide $f$ und $g$ im $C_C^\infty$.

Dann haben wir in diesem Fall

$$\int_{-\infty}^\infty g(y) \langle \delta_y',f \rangle\,dy=-\int_{-\infty}^\infty g(y) f'(y)\,dy \tag3$$

woraufhin das Integral auf der rechten Seite von integriert wird $(3)$ nach Teilen mit $u=g(y)$ und $v=f(y)$ wir glauben, dass

$$-\int_{-\infty}^\infty g(y) f'(y)\,dy=-\left.\left(f(y)g(y)\right)\right|_{-\infty}^\infty+\int_{-\infty}^\infty f(y)g'(y)\,dy\tag4$$

Da $f$ und $g$ haben kompakte Unterstützung, für die sie verschwinden $|x|>L$ für einige $L$ und damit der erste Term auf der rechten Seite von $(4)$ ist identisch $0$. Daher wird die Dummy-Integrationsvariable ersetzt$y$ mit $x$, wir glauben, dass

$$\int_{-\infty}^\infty g(y) \langle \delta_y',f \rangle\,dy=\int_{-\infty}^\infty f(x)g'(x)\,dx$$

was mit dem Ergebnis in übereinstimmt $(2)$.

Answer 2

Das Dirac-Delta und seine Ableitungen spielen nur gut mit Funktionen (& Verteilungen) in $C_C^\infty$und diese befriedigen$$\lim_{y\to\pm\infty}f(y)=\lim_{y\to\pm\infty}g(y)=0,$$damit$$\left.[-\delta(x-y)g(y)]\right|_{y=-\infty}^{y=\infty}=0,\,\left.[-f(y)g(y)]\right|_{y=-\infty}^{y=\infty}=0.$$