Dynkin Pi-System Lemma

Question

Ich habe eine ziemlich triviale Frage, mit der ich mich wirklich schwer tun kann, und ich habe das Gefühl, dass mir etwas Einfaches fehlt, also hoffe ich, dass ich dieses Problem hier klären kann.

Das Lemma lautet: Wenn G a ist $\pi$-System, dann das $d$Das von G erzeugte System (Dynkin-System) ist das $\sigma$-Feld erzeugt von G.

In dem Beweis, den ich habe, konstruieren wir die folgende Menge: $D_{1}$ = {B. $\in$ $d(G)$ :: $\forall$ C. $\in$ G, B. $\cap$ C. $\in$ $d(G)$ }}

und das zeigen wir $D_{1}$ ist infact a $d$-System. Ich bin mit dem Rest des Beweises zufrieden, habe aber Mühe zu sehen, warum das ganze Set$\Omega \in D_{1}$?

Durch die Definition eines Dynkin-Systems weiß ich, dass wir haben müssen $\Omega \in d(G)$ also im set $D_{1}$ Ich kann Element nehmen $B = \Omega \in d(G)$ aber ich kann nicht ableiten, warum die Menge C enthalten muss $\Omega$ (so dass der Schnittpunkt von $\Omega \cap \Omega = \Omega \in d(G)$) was letztendlich den ersten Teil zeigen wird, dass $D_{1}$ ist ein D-System.

Jede Hilfe zu den oben genannten wäre sehr dankbar!

Answer 1

Diese Definitionen sind in der Tat verwirrend.
Beachten Sie, dass per Definition$G\subseteq d(G)$ weil $d(G)$ist das kleinste Dynkin-System, das enthält $G.$ Beachten Sie dann, dass wenn $x\in G,$ dann $x\in d(G).$ So, $\Omega \in d(G)$ per definitionem und wenn $C\in G$ dann $C\cap \Omega =C\in d(G)$ so $\Omega \in D_1.$