Dynkin-System von einem Set generiert

Question

Gegeben ein Satz $X$ und eine Sammlung von Teilmengen von $X$, $\mathcal{E}$, die unter endlichen Schnittpunkten geschlossen ist, verwenden wir $\mathcal{D}(\mathcal{E})$ um das Dynkin-System zu bezeichnen, das von erzeugt wird $\mathcal{E}$ (das heißt, der Schnittpunkt aller Dynkin-Systeme auf $X$ enthält $\mathcal{E}$).

Meine Frage ist, dass für jeden $B\in \mathcal{D}(\mathcal{E})$, wenn wir die Menge definieren $\mathcal{L}_B$ wie die folgenden:

$$ \mathcal{L}_B = \{A\subset X: A\cap B\in \mathcal{D}(\mathcal{E}) \}, $$

(was bereits als Dynkin-System verifiziert ist), wie kann ich das zeigen? $\mathcal{E}\subset \mathcal{L}_B$? Jede Ihrer Hilfe wird sehr geschätzt!

Answer 1

Nun, ich meine ... du kannst das nicht beweisen, weil es nicht wahr ist. Dynkin-Systeme werden im Allgemeinen nicht unter endlichen Schnittpunkten geschlossen. Also wähle$\mathcal{E}$eine Dynkin-Klasse zu sein, die nicht unter endlichen Schnittpunkten geschlossen ist. Zum Beispiel$$ \mathcal{E}=\{\emptyset, (-\infty,1],(0,\infty), (1,\infty),(-\infty,0], \mathbb{R}\} $$ Das ist leicht zu überprüfen $\mathcal{E}$ist ein Dynkin-System. Daher,$\mathcal{D}(\mathcal{E})=\mathcal{E}$. Es ist offensichtlich nicht unter endlichen Schnittpunkten geschlossen. Insbesondere ist das nicht wahr$\mathcal{E}\subseteq \mathcal{L}_{(0,\infty)}.$

Vermutlich versuchen Sie, den Eindeutigkeitssatz für Wahrscheinlichkeitsmaße zu beweisen. In diesem Fall müssen Sie davon ausgehen, dass $\mathcal{E}$ ist in diesem Fall unter endlicher Schnittmenge geschlossen $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{L}_B$ trivial.

Answer 2

Lassen $A \in \mathcal E$. $\{B \in \mathcal D (\mathcal E): A\cap B \in \mathcal D (\mathcal E)\}$ ist Dynkin-System enthält $\mathcal E$ (weil $\mathcal E$ist unter endlichen Schnittpunkten geschlossen). Daher enthält es$\mathcal D (\mathcal E)$ und das wollen wir beweisen.