Ein einfaches Kalkülproblem

Question

Hier ist die Frage: Finden Sie die maximale Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks, das in die Ellipse eingeschrieben ist $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$. Mein Lehrer löste es, indem er zwei beliebige Punkte auf der Ellipse als Eckpunkte des Dreiecks betrachtete$(a\cos\theta, b\sin \theta)$ und $(a\cos\theta, -b\sin \theta)$. (Lass uns einfach sagen$\theta$ ist Theta) und fuhr dann mit den Ableitungstests fort (die ich verstand). Aber er gab nicht an, was unsere waren $\theta$war und erklärte, dass diese Punkte immer auf einer Ellipse liegen. Warum so? Und selbst wenn ja, was ist die Garantie dafür, dass Punkte einer solchen Form unsere erforderlichen Eckpunkte sind? Eine weitere Sache, ich würde es begrüßen, wenn Sie einen anderen Weg zur Lösung dieses Problems vorschlagen könnten. Vielen Dank!

Answer 1

Wenn wir dem Symmetrieargument glauben, ist es einfach, den Bereich zu optimieren:

$$A_1 = a b \sin \theta (1+ \cos \theta)$$

$$A_2 = a b (1+ \sin \theta) \cos \theta$$

$$0=\frac{\partial A_1}{\partial \theta}=a b [\cos\theta (1+ \cos \theta)-\sin^2 \theta] = ab [\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \cos \theta]$$

$$0=\frac{\partial A_2}{\partial \theta}=a b [\cos^2 \theta - \sin \theta(1+ \sin \theta)]= ab[\cos^2 \theta - \sin^2 \theta-\sin \theta]$$

Lösungen für die erste Gleichung enthalten ein Minimum bei $\theta=\pi$ und Maxima bei $\theta = \mp \frac{\pi}{3}$.

Lösungen für die zweite Gleichung enthalten ein Minimum bei $\theta=-\frac{\pi}{2}$ und Maxima bei $\theta = \frac{\pi}{6}$ und $\frac{5\pi}{6}.$

Interessant, wir bekommen Lösungen ausgerichtet auf die $x-$Achse und die $y-$Achse!

Sie können das Problem sicherlich lösen, indem Sie drei beliebige Punkte auf der Ellipse nehmen, sie auf Iscoceles-Dreiecke beschränken und dann Lagrange-Multiplikatoren verwenden. Die Lösungen werden sich als die oben gefundenen herausstellen.