Ein Problem in Subspaces

Question

Ich habe für ein paar Quals gelernt und ich erinnere mich, dass ich letztes Jahr auf dieses Problem gestoßen bin und damit nichts anfangen konnte. Sogar jetzt bin ich irgendwie ratlos. Ich habe mich gefragt, ob ihr irgendwelche Ideen habt. Hier ist das Problem:

Lassen $ V $ sei ein Vektorraum und lass $ 1\leq n< \operatorname{dim}(V) $sei eine ganze Zahl. Lassen$ \{V_i\} $ eine Sammlung von sein $ n $-dimensionale Teilräume von $ V $ mit der Eigenschaft, dass $$ \operatorname{dim}(V_i\cap V_j) = n-1 $$ für jeden $ i\neq j $. Zeigen Sie, dass mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

(i) Alle $ V_i $ teilen eine gemeinsame $ (n-1) $-dimensionaler Unterraum.

(ii) Es gibt eine $ (n+1) $-dimensionaler Unterraum von $ V $ alles enthalten $ V_i $.

Answer 1

Lassen Sie uns zunächst Folgendes zeigen:

Für jeden $i,j,k$, wenn wir haben $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j,$ dann $V_i\subseteq V_k+V_j$.

Beachten Sie, dass $\dim(V_k+V_j)=\dim(V_k)+\dim(V_j)-\dim(V_k\cap V_j)=n+1$Dies ist also unser einzigartiger Kandidat für eine gemeinsame $n+1$-dimensionaler Superspace.

Nun, wenn $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j$Wir wissen, dass es einen Vektor gibt $\nu_{k,i}\in V_k\cap V_i$ das ist linear unabhängig von $V_j$. Aber seit$V_i\cap V_j$ ist ein $n-1$ dimensionaler Unterraum der $n$-dimensionaler Raum $V_i$Das verstehen wir $$ V_i=\textrm{span} \{\nu_{k,i}\}+V_i\cap V_j\subseteq V_k+V_j $$

Jetzt müssen wir nur noch darüber streiten, ob $V_k\cap V_{i_0}\neq V_{i_0}\cap V_j$ für einige $i_0$, dann für jeden $i$ so dass $V_k\cap V_i=V_i\cap V_j$müssen wir noch haben $V_i\subseteq V_k+V_j$.

Dies folgt seitdem $V_i\cap V_{i_0}\neq V_k\cap V_i$. Andernfalls,$V_{i_0}$ würde die enthalten $n-1$ dimensionaler Unterraum $V_i\cap V_j=V_i\cap V_k$ und so hätten wir Dimensionen gezählt $$ V_{i_0}\cap V_k=V_i\cap V_k=V_i\cap V_j=V_{i_0}\cap V_j $$ Daher haben wir unter Anwendung des vorherigen $$ V_i\subseteq V_{i_0}+V_k\subseteq V_j+V_k $$

Alles in allem haben wir das Gewünschte festgelegt.