Ein Problem nach Rolles Theorem

Question

Es gibt also diese Frage, die uns auffordert, dies zwischen zwei beliebigen Wurzeln von zu beweisen $\tan x=1$ es existiert mindestens eine Wurzel von $\tan x =-1$. Nehmen wir an, wir nehmen das an$a,b$ sind zwei Wurzeln von $\tan x-1=0$, dann $f(a)=f(b)=0$, wo $f(x)= \tan x-1$. Nach dem Satz,$f'(c)=0$ wo $c \in (a,b)$dh $\sec^2 c =0$.... und das ist nicht definiert. Entweder stimmt etwas mit meinem Verständnis oder mit dem Problem nicht. Bitte helfen Sie.

Answer 1

Die Funktion $f(x)=\tan(x)-1$ ist nicht für jeden kontinuierlich $x\in[a,b]$, ($a,b$ aufeinanderfolgende Wurzeln von $f$), daher kann der Satz von Rolle nicht in einem solchen Intervall angewendet werden.

Answer 2

Lassen $f(x)=\tan x -1$, und $g(x)=\tan x +1$.

Die Wurzeln von $f(x)$ im Intervall auftreten $I=[\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup (\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{5\pi}{4}+\pi k]$ für einige $k\in\mathbb{Z}$. Die Wurzeln von$f(x)$ treten an den Endpunkten des Intervalls auf $I$.

Die Wurzeln von $g(x)$ im Intervall auftreten $J=[-\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup(\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{3\pi}{4}+\pi k]$ für einige $k\in\mathbb{Z}$. Die Wurzeln von$g(x)$ treten an den Endpunkten des Intervalls auf $J$.

Das Intervall $(\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{3\pi}{4}+\pi k]$ ist enthalten in $[\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup (\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{5\pi}{4}+\pi k]$ und eine Wurzel von $g(x)$ tritt bei $x=\frac{3\pi}{4}+\pi k$. Wurzeln von$f(x)$ auftreten bei $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ und $x=\frac{5\pi}{4}+\pi k$.

$\frac{\pi}{4}+\pi k<\frac{3\pi}{4}+\pi k<\frac{5\pi}{4}+\pi k $.

Es gibt also mindestens eine Wurzel von $g(x)$ zwischen zwei beliebigen Wurzeln von $f(x)$.