Eine Frage zu $SK_1$ von Ringen

Question

Lassen $B$ sei ein kommutativer Ring mit Einheit und $B/nil(B):=B_{red}$, wo $nil(B)$ ist das Nilradikal von $B$. Ist$SK_1(B)=SK_1(B_{red}) ?$ Insbesondere ist es wahr, wenn $B$ ist eine affine Algebra über einem algebraisch geschlossenen Feld?

Answer 1

Ja. Ein Element im Kernel von$SK_1(B)\rightarrow SK_1(B_{red})$ wird durch eine Matrix dargestellt $M\in GL_n(B)$ für einige $n$. Schreiben$\overline{M}$ zur Reduzierung von $M$ mod $nil(B)$. Dann$\overline{M}$ ist ein Produkt von Elementarmatrizen, die alle zu Elementarmatrizen übergehen $B$. Anpassen$M$ dementsprechend können wir das annehmen $\overline{M}$ ist die Identität.

Daraus folgt, dass die Elemente auf der Diagonale von $M$ sind alle $1$ mod $nil(B)$, daher alle Einheiten in $B$. Dies ermöglicht es uns, elementare Operationen zum Konvertieren zu verwenden$M$ zu einer diagonalen Matrix, die daher (nach Whiteheads Lemma) das Nullelement von darstellt $SK_1(B)$.

(Das gleiche Argument funktioniert, wenn $B_{red}$ wird ersetzt durch $B/I$, wo $I$ ist jedes Ideal, das im Jacobson-Radikal enthalten ist.)