Eine Grenze mit einem Arktan

Question

Ich muss ein anderes Limit berechnen, $$ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^{\sin\left(2/x\right)}$$

Ich habe keine Ahnung, wie ich anfangen soll oder was ich tun soll, weil ich mich noch nie zuvor mit einem Arktan in einem Limit befasst habe.

Was soll ich zuerst tun?

Answer 1

$\lim_{x \to \pi/2} \tan x = \infty$, so $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$, wie $\tan x$ und $\arctan x$ sind inverse Funktionen voneinander für $x \in [0, \pi/2)$.

Der Rest ist nur eine direkte Substitution. Du solltest bekommen:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{\sin(0)} = \lim_{x \to \infty} 1^0 = \boxed{1}.$$

Answer 2

Zuallererst: keine Panik! :-)

Es gibt eine schöne Identität für den Arkustangens: $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}= \begin{cases} \pi/2 & x>0 \\[4px] -\pi/2 & x<0 \end{cases} $$ Da ist das Limit für $x\to\infty$Es ist nicht einschränkend anzunehmen $x>0$, so $$ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x} $$ und Einstellung $y=1/x$wird die Grenze $$ \lim_{y\to0^+}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\arctan y\Bigr)^{\sin2y} $$ Das ist keine unbestimmte Form, weil es ist $1^0=1$.