Eine integrale inverse CWT

Question

Die icwt-Dokumente von MATLAB dokumentieren die Zustandsinversion durch ein einziges Integral:

$$ f(t) = 2 \Re e\left\{ \frac{1}{C_{\psi, \delta}} \int_0^\infty \left< f(t), \psi(t) \right> \frac{da}{a} \tag{1} \right\} $$

Woher kommt dieser Ausdruck und wie ist die Integration vorbei? $b$(Übersetzung) beseitigt (wie in der Wiki- Formel)? Gilt es, wenn diskret über log verteilt verteilt wird$a$ (z.B $(2^{1/32})^{[1, 2, ...]}$)?

Answer 1

Die Formel basiert darauf, dass das Wavelet analytisch ist oder nur über nicht negative Frequenzen ungleich Null ist:${\hat\psi} (\omega < 0) = 0$. (Beachten Sie, dass alle Wavelets auch haben${\hat \psi (0)}=0$nach dem Zulässigkeitskriterium). Von Daubechies et al .

$$ \begin{align} \int_0^\infty W_f(a, b) a^{-1} da & = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty}{\hat f}(\xi) \overline{ {\hat \psi}(a\xi)} a^{-1} da d\xi \tag{1a} \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \int_0^\infty {\hat f}(\xi) \overline{ {\hat \psi} (a\xi)} e^{jb\xi} a^{-1} da d\xi \tag{1b} \\ &= \int_0^\infty \overline{ {\hat \psi}(z)} \frac{dz}{z} \cdot \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty {\hat f}(\xi) e^{jb\xi} d\xi \tag{1c} \\ \end{align} $$

wo eine ziemlich verwirrende Änderung der Variablen durch eine klarere ersetzt wurde, $z=a\xi,\ dz=\xi da$. Beachten Sie, dass diese Abdeckung nur gültig ist, wenn Integrale Limits gemeinsam nutzen, die durch aktiviert sind$\psi$die Analytizität; Andernfalls,$z$ würde integrieren $-\infty $ zu $\infty$, aber $z$ beinhaltet $a$, die nur überspannt $0$ zu $\infty$. Eine Identität wurde auch beim Aufteilen von Integralen verwendet.

Vorausgesetzt $f$ ist echt, wir haben ${\hat f(\xi)} = \overline{\hat f (-\xi)}$, also von $0$ zu $\infty$,

$$ \frac{1}{4\pi} \Re e \left\{ \int_0^\infty {\hat f(\xi)} e^{jb\xi} d\xi \right\} = f(b), $$

und Einstellung $C_\psi = \int_0^\infty \overline{ {\hat \psi (z)}} z^{-1} dz$ ergibt sich also

$$ \begin{align} f(b) &= \frac{1}{2} \Re e \left\{ \frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty W_f(a, b) a^{-1} da \right\} \tag{2a} \\ &= \frac{1}{2} \Re e \left\{ \frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty f \star \overline{\psi_a(b)} \frac{da}{a} \right\} \tag{2b} \\ &= \boxed{ \frac{1}{2} \Re e \left\{ \frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty \left< f(t), \psi(t) \right> \frac{da}{a} \right\} } \tag{2c} \\ \end{align} $$

Schon seit $W_f$ fegt $b$ über alles $t$gilt oben gleichwertig für $f(t)$.

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Das von Ihnen verknüpfte Papier wird verwendet $a^{-3/2}$- In der Tat, da es eine L2-Norm für das Wavelet annimmt, während MATLAB L1 verwendet; Weitere Infos finden Sie hier .

Was ist mit $\delta$? -- Das$\delta$ ist von MATLAB und schreibt den Ausdruck als Sonderfall der allgemeineren Umkehrung, wie es oben in der Nähe zeigt, mit $\left<f, g\right>$, Die abgeleitet ist hier .

und das $2 \Re e$? - Gute Frage - vielleicht MATLABs$C_{\psi, \delta}$ist ein bisschen anders, aber gemäß obiger Definition teilen wir klar durch zwei, nicht multiplizieren. Versuchen Sie im Zweifelsfall beides.

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Interpretation : Es hilft, das zu beobachten$b$in allen Ableitungen kann durch eine Konstante ersetzt werden - so gilt die Beziehung punktweise ; wenn wir uns integrieren$a$dh eine Spalte der 2D-Zeit-Frequenz-Darstellung, wir stellen die Funktion an diesem Punkt wieder her, $f(b)$.

Beachten Sie, dass wir im doppelintegralen iCWT ein duales Wavelet verwenden, um das innere Produkt mit dem CWT-Wavelet analog zu CW rückgängig zu machen $e^{+j\omega t}$ im $\mathcal{F}^{-1}$;; Hier verwenden wir keinen invertierenden Kernel - die Transformation macht sich selbst rückgängig, wenn sie über alle Skalen hinweg integriert wird. Dies impliziert eine gewisse Symmetrieeigenschaft auf dem Wavelet$\psi$bei der Kodierung von Informationen über Skalen hinweg - obwohl ich nicht sicher bin, wie dies genau funktioniert; Das wichtigste ist die Analytizität, die dies überhaupt erlaubt, so dass man dort nach einer Antwort suchen kann.

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Diskretisierter Fall mit exponentiell verteilt $a$

Auf derselben Seite des verknüpften Papiers wird der diskretisierte lineare Fall gelesen

$$ f(b) \approx \frac{1}{2} \Re e \left\{ C_\psi^{-1} \sum_k W_f (a_k, b) \frac{(\Delta a)_k}{a_k} \right\}, \tag{3} $$

mit $(\Delta a)_k$ Rolle übernehmen von $da$. Für den linearen Fall$(\Delta a)_k = \Delta a$, jedoch nicht für den Protokollfall, da die Inkrementgröße für mehr zunimmt $k$. Das ist der einzige Unterschied zwischen log und linear.

In der Praxis ist es jedoch besser, die diskretisierte logarithmisch skalierte Transformation direkt zu verwenden - die sich wie folgt ableitet:

$$ \begin{align} & z = e^a, \ dz = a da \\ & \frac{da}{a^2} = \frac{d \ln (z)}{z} \tag{4} \end{align} $$

Annehmen $z(a) = 2^{a/32}$. Beachten Sie, dass das Log-Diagramm einer Exponentialskala linear ist, also die Differenz$\Delta(\ln (z))$ oder $d(\ln (z))$ist konstant und gleich$\ln (z(1))da$. Um dies besser zu sehen, leiten wir dieses Beispiel direkt mit ab$n_v$ für "Anzahl der Stimmen":

$$ z(a) = 2^{a/n_v} \rightarrow dz(a) = z \frac{\ln(2)}{n_v} da = \ln(a_0)da \tag{5} $$

Bei der Diskretisierung, $da=1$und wir enden mit

$$ \boxed{f[] \approx \frac{\ln (a_0)}{2 C_\psi} \Re e \left\{\sum_{k=1}^{K} \frac{1}{a_0^k} W_f (a_0^k, .) \right\} } \tag{6} $$

wie Mallat Gl. 4.67 (beachten Sie, dass seine Ableitung für das Doppelintegral gilt, hier jedoch das gleiche Skalierungsargument gilt).