Einen Punkt mit einer Eigenschaft finden

Question

Lassen $f:[0,1]\rightarrow\mathbb R$ eine feste stetige Funktion sein, so dass $f$ ist differenzierbar auf $(0,1)$ und $f(0)=f(1)=0$. Zeigen Sie dann, dass es mindestens eine gibt$x\in[0,1]$ so dass $f(x)=f'(x)$.

Können wir dies mit dem Mittelwertsatz lösen oder gibt es einen anderen Weg?

Answer 1

Wenn du nimmst $g(x)=f(x)e^{-x}$ dann klar $g(0)=g(1)=0$ damit $g'(c)=0$ für einige $c\in (0,1)$. Kannst du es von hier nehmen?