Einzigartigkeit von Pushforward einer glatten Karte

Question

Unten ist, was ich ursprünglich gefragt habe. Ich habe meine Frage dank des 0. Benutzers bearbeitet. Ich werde nach der ursprünglichen Frage eine neue Frage hinzufügen.

(Ursprüngliche Frage :)

Lassen $M, N$ glatte Mannigfaltigkeit der Abmessung sein $m,n$beziehungsweise. Annehmen$F: M \rightarrow N$ist glatt. Zum$p \in M$, Lassen $(U_1,\varphi_1)$ und $(U_2, \varphi_2)$ Charts über sein $p$, und für $F(p) \in N$, Lassen $(V_1, \psi_1)$ und $(V_2, \psi_2)$ Charts über sein $F(p)$. Nehmen wir zur Vereinfachung an$V_1 \supset F(U_1)$ und $V_2 \supset F(U_2)$.

Definieren Sie nun $\tilde F_1:= \psi_1 \circ F \circ \varphi_1^{-1}: \varphi_1(U_1) \rightarrow \psi(V_1)$und definieren $\tilde F_2$gleichfalls. Dann ist mir das garantiert$\tilde F_1 = \tilde F_2$? Wenn ja, würde ich mich über eine kleine Erklärung freuen.

(Zurück zur neuen Frage :)

Wenn Darstellung von $\tilde F_1$ und $\tilde F_2$ ist nicht einzigartig, dann gibt es einen Grund zu der Annahme, dass Pushfoward $F_*$ist einzigartig? Ich habe aus der Klasse gelernt, dass Matrixdarstellung von$F_*$ ist das gleiche wie die Matrixdarstellung von $(\tilde F_1)_*$ und $(\tilde F_2)_*$, und wenn $\tilde F_1$ stimmt nicht überein $\tilde F_2$Dann gibt es keinen Grund, an die Einzigartigkeit von zu glauben $F_*$.

Answer 1

Erinnere dich daran $F_*$ist als Karte auf Tangentenräumen definiert, daher müssen Sie die Diagramme verwenden, um auch Koordinaten auf die Tangentenräume zu setzen. Sie müssen das alles einfach abwickeln, um das zu sehen$F_*$ ist in der Tat gut definiert.

Ich werde das annehmen $\phi_i(p) = \psi_i(f(p))=0$zur Bequemlichkeit. Erinnere dich daran$F_{*p}\colon T_pM\to T_{f(p)}N$ ist definiert als $(\psi_1^{-1})_{*0}\circ (\tilde F_1)_{*0}\circ(\phi_1)_{*p}$. Sie fragen sich, warum dies gleich ist$(\psi_2^{-1})_{*0}\circ (\tilde F_2)_{*0}\circ(\phi_2)_{*p}$.

An dieser Stelle wird es hilfreich sein, einige Diagramme ("kommutative Quadrate") zu zeichnen, die den von mir angegebenen Zuordnungen folgen. Lassen$\phi_{12} = \phi_1\circ\phi_2^{-1}\colon \phi_2(U_1\cap U_2)\to \phi_1(U_1\cap U_2)$ und ähnlich für $\psi_{12}$. Dann$\tilde F_1 = \psi_{12}\circ\tilde F_2\circ\phi_{12}^{-1}$. (Stellen Sie sicher, dass Sie das sorgfältig für sich selbst ausarbeiten.) Deshalb (atmen Sie tief ein!)\begin{align*} (\psi_1^{-1})_{*0}\circ (\tilde F_1)_{*0}\circ(\phi_1)_{*p} &= (\psi_1^{-1})_{*0}\circ (\psi_{12})_{*0}\circ(\tilde F_2)_{*0}\circ(\phi_{12}^{-1})_{*0}\circ(\phi_1)_{*p} \\ &= (\psi_2^{-1})_{*0}\circ (\tilde F_2)_{*0}\circ (\phi_2)_{*p}, \end{align*} wie erforderlich.