Element einer Homotopiegruppe

Question

Ich habe Probleme, die Idee eines Elements einer Homotopiegruppe zu verstehen. Dies ist die Definition aus Wikipedia:

In der n-Sphäre $S^{n}$ Wir wählen einen Basispunkt $a$. Für einen Raum$X$ mit Basispunkt $b$, wir definieren $\pi _{n}(X)$ die Menge der Homotopieklassen von Karten zu sein $f:S^{n}\to X$die den Basispunkt a auf den Basispunkt b abbilden. Insbesondere werden die Äquivalenzklassen durch Homotopien angegeben, die am Basispunkt der Kugel konstant sind.

Also nach meinem Verständnis $\pi_n(X)$ wird erstellt, indem alle fortlaufenden Karten genommen werden $f: S^n \rightarrow X$ so dass $f(a) = b$und modifiziere dies dann unter der Homotopie-Äquivalenzbeziehung. Ich verstehe jedoch den letzten Satz nicht: Die Äquivalenzklassen werden durch Homotopien angegeben, die auf dem Basispunkt der Kugel konstant sind. Was bedeutet es, am Basispunkt der Kugel konstant zu sein? Wenn$f$ und $g$ sind homotopisch, warum müssen sie am Basispunkt der Kugel konstant sein?

Answer 1

Um die Homotopie zu sagen $F:S^n\times[0,1]\rightarrow X$ von $f$ zu $g$ ist konstant am Basispunkt der Kugel bedeutet das $F(a,t)=b\,\,\,\forall t\in[0,1]$, wo $a$ ist der gewählte Basispunkt der Kugel und $b=f(a)=g(a)$ ist der gewählte Basispunkt von $X$.

Eine allgemeine Homotopie muss am Basispunkt der Kugel nicht konstant sein. Zum Beispiel identifizieren$S^1$ mit $\{z\in\mathbb{C}|1=|z|\}$, Lassen $X=S^1$ und $1$ sei der Basispunkt für $S^1$.

Lassen $f,g:S^1\rightarrow X=id_{S^1}$. Also haben wir$1=a=b$im Kontext der Definition, die Sie gegeben haben. Lassen$F:S^1\times[0,1]\rightarrow X;F(z,t)=e^{2i\pi t}z$.

Dann klar $f\simeq_Fg$, aber $F(a,\frac{1}{2})=F(1,\frac{1}{2})=-1\neq1=b$.

Answer 2

"Konstante am Basispunkt der Kugel" bedeutet Konstante in der "Zeit" -Koordinate. Erinnern Sie sich an eine Homotopie von Karten$S^n\to X$ ist eine Karte $H:S^n\times [0,1]\to X$. Um das zu sagen$H$ ist konstant am Basispunkt bedeutet, dass die Funktion $t\mapsto H(a,t)$ ist konstant, wo $a\in S^n$ist der Basispunkt. Die Idee ist das$H$ ist ein "kontinuierlicher Pfad" von Karten $H_t:S^n\to X$ definiert von $H_t(x)=H(x,t)$, und du willst $H_t$ um den Basispunkt von abzubilden $S^n$ zum Basispunkt von $X$ für alle $t$, nicht nur $t=0$ und $t=1$ (Sie haben also einen "kontinuierlichen Pfad für Karten, die Basepunkte erhalten").