Ermittlung der Determinante der Cofaktormatrix

Question

Lassen

\begin{align} \Delta &= \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \\ \notag \end{vmatrix} \notag \end{align}

und lass $C_i$ repräsentieren den Cofaktor von $x_i$.

Finden

\begin{align} \begin{vmatrix} C_1 & C_2 & C_3 \\ C_4 & C_5 & C_6 \\ C_7 & C_8 & C_9 \\ \notag \end{vmatrix} \notag \end{align}

bezüglich $\Delta$.

Verallgemeinern Sie das, wenn $\Delta$ repräsentiert die Determinante von a $n\times n$ Matrix, dann ist die Determinante der Cofaktormatrix $\Delta^{n-1}.$

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Mit Blick auf die Verallgemeinerung war ich versucht, beide Determinanten zu multiplizieren.

\begin{align} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \\ \notag \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} C_1 & C_2 & C_3 \\ C_4 & C_5 & C_6 \\ C_7 & C_8 & C_9 \\ \notag \end{vmatrix} \notag = \begin{vmatrix} x_1.C_1+x_2.C_2+x_3.C_3 & x_1.C_4+x_2.C_5+x_3.C_6 & x_1.C_7+x_2.C_8+x_3.C_9 \\ x_4.C_1+x_5.C_2+x_6.C_3 & x_4.C_4+x_5.C_5+x_6.C_6 & x_4.C_7+x_5.C_8+x_6.C_9 \\ x_7.C_1+x_8.C_2+x_9.C_3 & x_7.C_4+x_8.C_5+x_9.C_6 & x_7.C_7+x_8.C_8+x_9.C_9 \\ \notag \end{vmatrix} \end{align}

\begin{align} \implies \Delta \times \begin{vmatrix} C_1 & C_2 & C_3 \\ C_4 & C_5 & C_6 \\ C_7 & C_8 & C_9 \\ \notag \end{vmatrix} \notag = \begin{vmatrix} \Delta & x_1.C_4+x_2.C_5+x_3.C_6 & x_1.C_7+x_2.C_8+x_3.C_9 \\ x_4.C_1+x_5.C_2+x_6.C_3 & \Delta & x_4.C_7+x_5.C_8+x_6.C_9 \\ x_7.C_1+x_8.C_2+x_9.C_3 & x_7.C_4+x_8.C_5+x_9.C_6 & \Delta \\ \notag \end{vmatrix} \end{align}

Kann mir jemand helfen, den nächsten Schritt herauszufinden? (Diese riesige Determinante muss gleich sein $\Delta^3$)

Answer 1

Hinweis:

beweisen Sie dies zunächst einmal selbst $$x_1C_4+x_2C_5+x_3C_6=0$$.

Symmetrisch ist leicht zu erkennen, dass alle Elemente außer denen in der Diagnose ($i=j$) sind Null. So haben wir \ begin {vmatrix} \ Delta & 0 & 0 \\ 0 & \ Delta & 0 \\ 0 & 0 & \ Delta \\ \ notag \ end {vmatrix}, was sich herausstellt${\Delta}^3$

Answer 2

Hinweis: Für jede quadratische Matrix$A$ von Größe $n \geq 2$bezeichnen mit $C(A)$die Matrix seines Cofaktors. Dann$A$ ist invertierbar iff $C(A)$ ist invertierbar, und Sie haben die Beziehung $$A \times (C(A))^T = \det(A) I_n$$

Answer 3

Die Matrix, die Sie gepostet haben, wird auch als "Cofaktormatrix" bezeichnet. Die Transponierte dieser Cofaktormatrix wird häufiger verwendet und ist als Adjunkt oder Adjugat der Matrix bekannt, bezeichnet mit$adj(A)$.

Es ist eine bekannte (und leicht zu beweisende) Eigenschaft für eine quadratische Ordnungsmatrix $n$ Das $$ A.adj(A) = |A|I_n $$ wo $I_n$ ist die Identitätsmatrix der Ordnung n und $|A|$ stellt die Determinante der Matrix A dar, $\Delta$. Ab hier folgt daraus$|A|.|adj(A)|= |A|^n$ und daher, $|adj(A)| = |A|^{n-1}$.

Wir wissen auch, dass die Determinante einer Matrix dieselbe ist wie die ihrer Transponierten (da wir nur die Zeilen und Spalten vertauschen). Daher sollte auch die Determinante der Cofaktormatrix sein$|A|^{n-1}$.