Erste Grundform

Question

Wolfram MathWorld definiert ein Paraboloid und seine Differentialparameter als

\begin{align*} P&=\left(\frac{\partial x}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{du}\right)^2= \\ &=1+\frac{1}{4u} \\ Q&=\frac{\partial x}{du}\frac{\partial x}{dv}+\frac{\partial y}{du}\frac{\partial y}{dv}+\frac{\partial z}{du}\frac{\partial z}{dv}= \\ &=\frac{1}{2\sqrt{u}}(\cos v - \sin v) \\ R&=\left(\frac{\partial x}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{dv}\right)^2= \\ &=u \\ \end{align*}

Wenn nun diese Parameter den Koeffizienten entsprechen$E$,$F$und$G$hier beschrieben , verstehe ich nicht, wie sie auf den Ausdruck für gekommen sind$Q$.

Answer 1

Trotz anderer Kommentare / Antworten sind diese Größen die übliche erste Grundform. Beachten Sie, dass der Wiki-Link definiert$g_{ij} = X_i\cdot X_j$. Das sind die üblichen$E,F,G$, und sie sind die Punktprodukte der Ableitungen der Parametrisierung in Bezug auf die unabhängigen Variablen. In Ihrem Fall ist der erste Parameter$u$und der zweite Parameter ist$v$, und das haben wir tatsächlich\begin{align*} P&=X_u\cdot X_u=E,\\ Q&=X_u\cdot X_v=F, \quad\text{and} \\ R&=X_v\cdot X_v=G. \end{align*}Ich bin mir nicht sicher, warum Wolfram andere Buchstaben verwendet.

Wenn Sie eine weitere Referenz wünschen, sehen Sie sich meinen Text zur Differentialgeometrie an .

Answer 2

Die erste Grundform ist das innere Produkt des Tangentialraums an einem Punkt der Oberfläche, wenn Sie die im Umgebungsraum enthaltene Oberfläche betrachten$\mathbb{R}^3$. Wenn Sie ein Paraboloid haben$z=b(x^2+y^2)$, dann sind die Tangentenvektoren der Fläche, die den Tangentenraum erzeugt

$v=[1,0, 2bx]$

und

$w=[0,1,2by]$

An dieser Stelle können die Koeffizienten der ersten Grundform wie folgt berechnet werden

$E=\langle v, v \rangle=1+4b^2x^2$

$F=4b^2xy $

$G=1+4b^2y^2$

In Ihrem Link zum Paraboloid ist das Argument wohl eine Geodäte auf dem Paraboloid.